A concentração de bactéria poluente c em um lago diminui de acordo com C=70 e^-1,5 t+25 e^-0,075 t. Determine o tempo necessário para que a concentração de bactéria seja reduzida a 9 usando o método de Newton com aproximação inicial t=10 e critério de parada erro relativo menor que 0,05 .

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é resolver o seguinte problema: a concentração de bactéria no lago é
C(t)=70e^-1,5t+25e^-0,075t
e a gente quer achar o tempo tn+1=tn - f(tn)f'(tn) tal que . Vamos usar o Método de Newton (ou Newton–Raphson) com chute inicial e parar quando o erro relativo entre iterações ficar abaixo de 0,05 (5%).
Conteúdo envolvido: funções exponenciais, derivada de exponencial e Método de Newton:
  • Pra usar Newton, a gente define .
  • Precisa da derivada .
  • A fórmula de iteração é

Passo 2

Definindo a função e sua derivada:
f(t)=70e^-1,5t+25e^-0,075t-9,
f'(t)=ddtl(70e^-1,5tr)+ddtl(25e^-0,075tr) =-1,5cdot70,e^-1,5t-0,075cdot25,e^-0,075t

Passo 3

Primeira iteração ( f(10)=70e^-15+25e^-0,75-9 approx 0 + 25cdot0,47237 -9 approx 11,809 -9=2,809 , chute f'(10)approx -1,5cdot70cdot e^-15-0,075cdot25cdot e^-0,75 approx 0 -0,075cdot25cdot0,47237 approx -0,8857 ):
  1. Calcula t1 = 10 - 2,809-0,8857approx 10 +3,170=13,170 :
l|t1-t0r|/|t1|approx |13,170-10|/13,170=3,170/13,170approx0,24>0,05,
  1. Calcula :
  1. Atualiza :
  1. Erro relativo aproximado:
ainda não chegou no critério, bora pra próxima.

Passo 4

Segunda iteração ( t2 = 13,170 - 0,315-0,6986approx 13,170 +0,451=13,621 , |t2-t1|/|t2|approx |13,621-13,170|/13,621=0,451/13,621approx0,033<0,05 ):
  1. Atualiza :
  1. Erro relativo:
Pronto! Atendeu ao critério de parar (3,3 %).

Resposta

O tempo necessário para a concentração cair a 9 é aproximadamente
boxed13,62
(unidades de tempo usadas no enunciado).

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