Sabemos que, se y=f(x) é uma função contínua que satisfaz f(a) f(b)<0 para a números reais dados, então existe pelo menos um ponto alpha in(a, b) tal que f(alpha)=0. Qual condição adicional garante a unicidade da solução neste intervalo? Justifique.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz: se é contínua em e , pelo Teorema do Valor Intermediário já sabemos que existe pelo menos uma raiz tal que .
Conteúdo da matéria:
  • Teorema do Valor Intermediário (TVI).
  • Conceito de função estritamente monotônica.
    O que vamos precisar: entender por que uma certa “condição extra” impede que haja mais de uma raiz, ou seja, garante unicidade.

Passo 2

A condição extra que deixa só uma raiz é fazer com que a função não consiga “virar” de sinal mais de uma vez. Isso rola se a gente exigir que ela seja estritamente monotônica em .
  1. Definição de estrita monotonicidade:
    • Uma função é estritamente crescente se, para quaisquer em , valer .
    • “Estritamente decrescente” é igual, só que com .
  2. Por que isso garante unicidade da raiz?
    • Suponha, por absurdo, que existam duas raízes diferentes e em , com , e e .
    • Se for estritamente crescente, então de seguiria . Mas como e , isso dá , que é impossível.
    • Se for estritamente decrescente, o mesmo absurdo aparece: , ou seja .
    • Logo, não dá pra ter duas raízes. Ou seja, existe exatamente uma.

Resposta

A condição adicional é que seja estritamente monotônica (crescente ou decrescente) em . Com isso, pelo argumento de contradição acima, há única solução tal que .

Exercícios relacionados