Sabemos que, se
é uma função contínua que satisfaz
para
números reais dados, então existe pelo menos um ponto
tal que
. Qual condição adicional garante a unicidade da solução neste intervalo? Justifique.
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz: se
é contínua em
e
, pelo Teorema do Valor Intermediário já sabemos que existe pelo menos uma raiz
tal que
.
Conteúdo da matéria:
Conteúdo da matéria:
- Teorema do Valor Intermediário (TVI).
- Conceito de função estritamente monotônica.
O que vamos precisar: entender por que uma certa “condição extra” impede que haja mais de uma raiz, ou seja, garante unicidade.
Passo 2
A condição extra que deixa só uma raiz é fazer com que a função não consiga “virar” de sinal mais de uma vez. Isso rola se a gente exigir que ela seja estritamente monotônica em
.
-
Definição de estrita monotonicidade:
- Uma função
é estritamente crescente se, para quaisquer em , valer . - “Estritamente decrescente” é igual, só que com
.
- Uma função
-
Por que isso garante unicidade da raiz?
- Suponha, por absurdo, que existam duas raízes diferentes
e em , com , e e . - Se
for estritamente crescente, então de seguiria . Mas como e , isso dá , que é impossível. - Se for estritamente decrescente, o mesmo absurdo aparece:
⇒ , ou seja . - Logo, não dá pra ter duas raízes. Ou seja, existe exatamente uma.
- Suponha, por absurdo, que existam duas raízes diferentes
Resposta
A condição adicional é que
seja estritamente monotônica (crescente ou decrescente) em
. Com isso, pelo argumento de contradição acima, há única solução
tal que
.