O deslocamento de uma estrutura é definido pela seguinte equação para uma oscilação amortecida: y=8 e^-k t cos (omega t), onde k=0,5, omega=3 e t é dado em segundos. Determine o tempo necessário para o deslocamento diminua para 4 , utilizando: o método de Secante, aproximações iniciais t0=0,2 e t1=0,4 e erro relativo inferior a 10^-2.

Passo 1

Então, o enunciado diz que o deslocamento de uma estrutura amortecida é
y = 8,e^-k tcos(omega t)
com f(t) = 8e^-0.5tcos(3t) - 4 e , e quer saber pra que tempo esse cai pra 4.
O conteúdo aqui é método numérico (método da secante) pra achar raiz de função, e precisamos definir
e iterar a secante até o erro relativo ser menor que , usando e .

Passo 2

Explicando o que é a secante: pra achar tn+1 = tn ;-; f(tn),tn - tn-1,f(tn)-f(tn-1),, tal que varepsilonn = gl|tn+1-tntn+1gr| , a fórmula de iteração é
A cada iteração a gente calcula e monta essa fração. Também medimos o erro relativo
e para quando .

Passo 3

Iteração 1:
  • t2 = 0,4 ;-; (-1,626),0.4-0.2-1,626 - 1,975 approx0,3097 , .
  • , .
    Aplicando a secante:
Erro relativo:
, ainda maior que .

Passo 4

Iteração 2:
  • t3 = 0,3097 ;-; 0,107,0.3097-0.40.107-(-1.626) approx0,3153 .
    Agora
Erro relativo:
, ainda maior que .

Passo 5

Iteração 3:
  • t4 = 0,3153 ;-; 0,0040,0.3153-0.30970.0040-0.107 approx0,31547 .
Erro relativo:
, que já é menor que .

Resposta

O tempo necessário é aproximadamente
boxedt approx 0,3155 s

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