Considere um pêndulo suspenso no teto de uma sala. O pêndulo balaça de acordo com a seguinte expressão:
d=80+90 cos (pi3 t)
em que d(cm) representa a distância até à parede de referência e depende do número de segundos t do momento quando o pêndulo foi posto em movimento. Calcule o instante de tempo t para o qual o pêndulo toca na parede da sala. Utilize o método de Newton, use para aproximação inicial t0=4 e critério de parada o erro relativo e epsilon=0,05.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão diz que um pêndulo balança e a distância até a parede é dada por
d(t)=80+90cos!l(tfracpi3tr),,
medida em cm, e pede para achar o instante d(t)=0Longrightarrow f(t)=80+90cos!l(tfracpi3tr)=0, em que o pêndulo toca a parede. Isso significa resolver
tn+1=tn-f(tn)f'(tn)
O conteúdo é método de Newton para encontrar raízes de equações não-lineares. Vamos precisar:
  1. Definir e sua derivada .
  2. Aplicar a fórmula de Newton
  1. Parar quando o erro relativo .

Passo 2

Primeiro a gente calcula a derivada de
f(t)=80+90cos!l(tfracpi3tr)
Como f'(t)=-90sin!l(tfracpi3tr)timespi3 =-30pi,sin!l(tfracpi3tr) , temos
tn+1=tn -80+90cos!l(tfracpi3tnr) -30pi,sin!l(tfracpi3tnr)
Aí a fórmula de Newton vira

Passo 3

Começando com f(4)=80+90cos!l(tfracpi3times4r) =80+90cos!l(tfrac4pi3r) =80+90l(-tfrac12r)=35 :
  1. Avaliamos f'(4)=-30pisin!l(tfrac4pi3r) =-30pil(-tfracraiz32r) =15raiz3,piapprox81,68
  2. E t1 =4-3581,68 approx4-0,4286 =3,5714
  3. Então |t1-t0||t1| =0,42863,5714approx0,12>0,05,
  4. Erro relativo ou seja, ainda não caiu abaixo de .

Passo 4

Agora usamos f(3,5714) =80+90cos!l(tfracpi3times3,5714r) approx80+90cos(3,7419) approx80-74,21 =5,79 :
1)
f'(3,5714) =-30pisin(3,7419) approx-30pil(-0,5656r) =30pitimes0,5656 approx53,29
  1. t2 =3,5714-5,7953,29 approx3,5714-0,1086 =3,4628
  2. |t2-t1||t2| =0,10863,4628 approx0,0314<0,05
  3. Erro relativo Agora sim, caímos abaixo de , então podemos parar.

Resposta

O instante de tempo em que o pêndulo toca a parede é, pela iteração de Newton com erro relativo tapprox3,46 segundos ,

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