A concentração de bactérias em um lago é dada pela seguinte expressão:
c=71 cdot e^-1.49 cdot t+(24.9) cdot e^-0.074 cdot t
c0 é a concentração no instante inicial (t=0). Determine o tempo no qual a concentração c é igual a 0.69 cdot c0.
a) Efetue 2 iterações com o método de Newton-Raphson e adote chute inicial t0=0.2 s.
Determine o erro relativo a cada iteração.

Passo 1

Beleza! O enunciado diz que a concentração de bactérias num lago é
c(t) = 71,e^-1.49,t + 24.9,e^-0.074,t
e que a concentração inicial é
c0 = c(0) = 71 + 24.9 = 95.9,
A gente precisa achar o tempo c(t) = 0.69,c0 = 0.69 times 95.9 approx 66.171 em que
tn+1 = tn - f(tn)f'(tn)
usando duas iterações do método de Newton-Raphson, começando em .
Conteúdo envolvido:
  • Definição de função para achar a raiz (a diferença entre e o alvo).
  • Derivada .
  • Fórmula do Newton:

Passo 2

Definimos
f(t) = 71,e^-1.49t + 24.9,e^-0.074t - 66.171
e a derivada
f'(t) = -1.49cdot71,e^-1.49t ;-;0.074cdot24.9,e^-0.074t = -105.79,e^-1.49t - 1.8426,e^-0.074t
Agora, com f(0.2)approx 11.047, f'(0.2)approx -80.78 :
  1. Calcular t1 = 0.2 ;-;11.047-80.78 approx 0.3368 e E1 = |t1 - t0||t1| = |0.3368-0.2|0.3368 approx 0.4058;(40.58%) :
  2. Aplicar Newton:
  3. Erro relativo da iteração 1:

Passo 3

Agora com f(0.3368)approx 1.0595, f'(0.3368)approx -65.817 :
  1. Calcular t2 = 0.3368 ;-;1.0595-65.817 approx 0.3531 e E2 = |t2 - t1||t2| = |0.3531-0.3368|0.3531 approx 0.0456;(4.56%) :
  2. Nova iteração de Newton:
  3. Erro relativo da iteração 2:

Resposta

Após duas iterações de Newton-Raphson com :
  • s, erro relativo .
  • s, erro relativo .

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