Considere o sistema não linear abaixo:
le^x1-1=0 e^x2-1=0
A solução deste sistema é: ll0 & 0.
(a) Verifique que a matriz Jacobiana é não singular (matriz invertível) em x^*.
(b) Realize uma iteração do Método de Newton aplicado a este sistema, usando
ll-10 & -10. Analise o resultado obtido e justifique o que acontece. Sugestão: analise a matriz Jacobiana. (Utilize 6 casas decimais).

Passo 1

Beleza, então a questão é sobre um sistema não linear simples:
e^x1-1=0e^x2-1=0, cuja solução exata é x^(k+1) = x^(k) - l[J(x^(k))r]^-1,F(x^(k)) .
O conteúdo aqui é:
  • Jacobiana de um sistema não linear e verificar se ela é invertível (parte a).
  • Método de Newton para sistemas — usar a fórmula e ver o que acontece começando em (parte b).
    Pra resolver a gente vai precisar:
  1. Montar a matriz Jacobiana .
  2. Avaliá-la em e checar o determinante.
  3. Calcular uma iteração de Newton (avaliar , , inverter e atualizar).

Passo 2

Parte (a) – montar e avaliar a Jacobiana.
  1. Definindo J(x) ;=; partialpartial x1(e^x1-1) & 0[6pt] 0 & partialpartial x2(e^x2-1) ;=; e^x1 & 0[3pt] 0 & e^x2 , a Jacobiana é J(0,0) ;=; e^0 & 00 & e^0 = 1 & 00 & 1,
  2. Em , fica
    [
    J(0,0) ;=;

    ,
    ]cujo determinante é . Logo a Jacobiana é invertível em .

Passo 3

Parte (b) – uma iteração de Newton a partir de F(x^(0)) ;=; e^-10-1[3pt] e^-10-1 = -0.9999546000702375[3pt] -0.9999546000702375 .
  1. Avaliando J(x^(0)) ;=; e^-10 & 0 0 & e^-10 approx 0.00004539993 & 0 0 & 0.00004539993 em J(x^(0))^-1 = e^10 & 0 0 & e^10 approx 22026.465795 & 0 0 & 22026.465795 :
    [
    F(x^{(0)}) ;=;
    x^(1) = x^(0) - J(x^(0))^-1,F(x^(0)) = -10-10 - 22026.465795 & 0 0 & 22026.465795 -0.9999546000702375 -0.9999546000702375

    x^(1) approx 22015.465842 22015.465842 .
    ]
  2. Avaliando em :

    Então
    [
    J(x{(0)}){-1}


    \approx
    .
    ]
  3. A atualização é
    [
    x^{(1)} = x^{(0)} - J(x{(0)}){-1},F(x^{(0)})


    .
    ]Calculando com 6 casas decimais dá

Passo 4

Análise do que rolou:
  • Em , as entradas de eram super pequenas ( ), então ficou enorme ( ).
  • Isso faz o passo de Newton virar um “chute” gigante em vez de um refinamento fino, e você sai lá pra casa dos .
  • Ou seja, apesar de o Jacobiano não ser exatamente singular, ele é mal condicionado em e arruína a convergência.

Resposta

(a) Em x^(1) approx (22015.465842,;22015.465842)^top, , tem determinante 1, logo é invertível.
(b) A primeira iteração dá
ou seja, o método explode porque a Jacobiana no palpite inicial é quase singular e gera um passo gigantesco.

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