Dados os pontos
x 0,20,20
x 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35
0,40
f(x) 0,12 0,16 0,19 0,22 0,25
0,27
Estime f(0,28) utilizando um polinônio de grau 2, fazendo por sistemas lineares e por Lagrange.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente estimar o valor de P(x)=a,x^2 + b,x + c, usando um polinômio de grau 2 (interpolação quadrática) de duas maneiras: montando o sistema linear e usando a fórmula de Lagrange. O conteúdo é “interpolação polinomial” e a gente vai precisar de:
  1. montar e resolver um sistema para achar os coeficientes P(x)=sumi=0^2 f(xi),Li(x) de
Li(x)=prodjne ix - xjxi - xj
  1. usar diretamente a forma de Lagrange
com

Passo 2

Resolvendo pelo sistema linear
  1. Escolhemos três pontos próximos de 0,28, por exemplo
(x0,f0)=(0,20,,0,16), (x1,f1)=(0,25,,0,19), (x2,f2)=(0,30,,0,22)
  1. Substituímos em a,(0,20)^2 + b,(0,20) + c = 0,16, a,(0,25)^2 + b,(0,25) + c = 0,19, a,(0,30)^2 + b,(0,30) + c = 0,22 :
0,04,a + 0,20,b + c = 0,16, 0,0625,a + 0,25,b + c = 0,19, 0,09,a + 0,30,b + c = 0,22
  1. Isso vira
0,0225,a + 0,05,b = 0,03, 0,0275,a + 0,05,b = 0,03
  1. Subtraindo a 1ª da 2ª e a 2ª da 3ª, obtemos duas equações para 0,04cdot0 + 0,20cdot0,6 + c = 0,16 Longrightarrow c = 0,16 - 0,12 = 0,04 e P(x) = 0,x^2 + 0,6,x + 0,04 = 0,6,x + 0,04 :
P(0,28) = 0,6cdot0,28 + 0,04 = 0,168 + 0,04 = 0,208
  1. Tirando a diferença dá .
  2. Plugando em uma delas: .
  3. Finalmente, na primeira equação original:
Então nosso polinômio é
  1. Avaliando em :

Passo 3

Resolvendo pela fórmula de Lagrange
  1. A forma geral para três pontos é
P(x)=f0,L0(x)+f1,L1(x)+f2,L2(x),
com
L0(x)=(x - x1)(x - x2)(x0 - x1)(x0 - x2), L1(x)=(x - x0)(x - x2)(x1 - x0)(x1 - x2), L2(x)=(x - x0)(x - x1)(x2 - x0)(x2 - x1)
  1. Substituindo nossos valores P(0,28)=0,16,L0(0,28)+0,19,L1(0,28)+0,22,L2(0,28)=0,208 , , e :
    • ,
    • ,
    • .
      Fazendo as contas, cada dá certinho para que

Resposta

Estimando boxedf(0,28)approx 0,208 por um polinômio de grau 2, tanto pelo sistema linear quanto por Lagrange, obtemos

Exercícios relacionados