Dados três pontos
Q0=(-4,-2), Q1=(-1,3), Q2=(5,1),
plote o gráfico de três polinômios de grau 2, L0(z), L1(z), L2(z), tais que:
  • L0 passa por Q0 e tem raízes em -1,5
  • L1 passa por Q1 e tem raízes em -4,5
  • L2 passa por Q2 e tem raízes em -4, -1.
    Plote também os três pontos dados.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos três pontos
Q0=(-4,-2), Q1=(-1,3), Q2=(5,1)
e queremos três polinômios quadráticos tais que cada um passe pelo seu ponto dado e tenha as raízes indicadas.
Conteúdo: interpolação simples usando a forma fatorada de um polinômio e determinando o coeficiente para que ele passe num ponto.
O que vamos precisar:
  1. Escrever cada na forma onde são as raízes dadas.
  2. Encontrar o impondo para o ponto .

Passo 2

Polinômio L0(z)=A0(z+1)(z-5) tem raízes em -2 ;=; L0(-4);=;A0l((-4)+1r)l((-4)-5r) = A0cdot(-3)cdot(-9)=27,A0 e A0 = -227, , então
boxedL0(z) = -227,(z+1)(z-5)
Como passa por , plugamos:
Logo
e

Passo 3

Polinômio L1(z)=A1(z+4)(z-5) tem raízes em 3 = A1l((-1)+4r)l((-1)-5r) = A1cdot 3cdot(-6) = -18,A1, e A1 = -318 = -16, , então
boxedL1(z) = -16,(z+4)(z-5)
Como passa por :
de onde
e

Passo 4

Polinômio L2(z)=A2(z+4)(z+1) tem raízes em 1 = A2l(5+4r)l(5+1r) = A2cdot 9cdot 6 = 54,A2, e A2 = 154, , logo
boxedL2(z) = 154,(z+4)(z+1)
Impondo (pois ):
então
e

Passo 5

Para plotar:
  • Desenhe cada curva no mesmo sistema de eixos .
  • Marque os pontos para verificar que, de fato, cada polinômio passa no seu ponto.

Resposta




e os pontos conforme dados.

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