Qual a condição de convergência para o Método de Ponto Fixo?

Passo 1

O método de ponto fixo consiste em reescrever a equação original
f(x)=0
na forma
x = g(x),
e em seguida iterar
xn+1 = g(xn)
Para estudar a convergência dessa sequência precisamos recorrer ao Teorema do Ponto Fixo de Banach, que estabelece condições sobre g para garantir que xnto s, sendo s a solução de s=g(s).

Passo 2

Primeiro, deve existir um intervalo [a,b]subsetR tal que, ao escolher x0in[a,b], todas as iterações permaneçam dentro dele. Em outras palavras,
g([a,b]) subseteq [a,b]
Isso evita que o método “escape” para valores fora da região onde controlamos o comportamento de g.

Passo 3

Em segundo lugar, g precisa ser suficientemente “aconchegante” para os pontos da iteração, isto é, deve trazer qualquer par de pontos mais próximos a cada aplicação. Formalmente, supomos gin C^1([a,b]) e existe uma constante
L = maxxin[a,b] l|g'(x)r|
tal que
0 <= L < 1
Quando isso ocorre, dizemos que g é um mapeamento contrátil em [a,b].

Passo 4

Pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach, se g satisfaz
  1. g([a,b])subseteq[a,b],
  2. maxxin[a,b]|g'(x)| = L < 1,
    então existe um único ponto sin[a,b] tal que s=g(s), e para qualquer x0in[a,b] a sequência definida por xn+1=g(xn) converge linearmente para s.

Resposta

A condição de convergência do Método de Ponto Fixo é que exista um intervalo [a,b] com
g([a,b]) subseteq [a,b] e maxxin[a,b]l|g'(x)r| = L < 1,
ou seja, g deve ser um mapeamento contrátil em [a,b].

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