Qual a condição de convergência para o Método de Ponto Fixo?
Passo 1
O método de ponto fixo consiste em reescrever a equação original
na forma
e em seguida iterar
Para estudar a convergência dessa sequência precisamos recorrer ao Teorema do Ponto Fixo de Banach, que estabelece condições sobre para garantir que , sendo a solução de .
Passo 2
Primeiro, deve existir um intervalo tal que, ao escolher , todas as iterações permaneçam dentro dele. Em outras palavras,
Isso evita que o método “escape” para valores fora da região onde controlamos o comportamento de .
Passo 3
Em segundo lugar, precisa ser suficientemente “aconchegante” para os pontos da iteração, isto é, deve trazer qualquer par de pontos mais próximos a cada aplicação. Formalmente, supomos e existe uma constante
tal que
0 <= L < 1
Quando isso ocorre, dizemos que g é um mapeamento contrátil em [a,b].
Passo 4
Pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach, se g satisfaz
g([a,b])subseteq[a,b],
maxxin[a,b]|g'(x)| = L < 1,
então existe um único ponto sin[a,b] tal que s=g(s), e para qualquer x0in[a,b] a sequência definida por xn+1=g(xn) converge linearmente para s.
Resposta
A condição de convergência do Método de Ponto Fixo é que exista um intervalo [a,b] com
g([a,b]) subseteq [a,b] e maxxin[a,b]l|g'(x)r| = L < 1,
ou seja, g deve ser um mapeamento contrátil em [a,b].