A condição necessária e suficiente de convergência para métodos iterativos é que o raio espectral da matriz iteração
seja menor que um. Considere o seguinte sistema linear:
Encontre as matrizes de iteração para os métodos de Gauss-Seidel e Gauss-Jacobi. Calcule os raios espectrais. Discuta os resultados obtidos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente achar as matrizes de iteração dos métodos de Jacobi e Gauss–Seidel pro sistema
Isso faz parte de métodos iterativos em álgebra linear – a ideia é escrever
(diagonal + estritamente inferior + estritamente superior) e usar fórmulas conhecidas:
- Jacobi:
. - Gauss–Seidel:
.
Depois a gente calcula o raio espectralpra ver se e discute a convergência.
Passo 2
Primeiro define
:
No método de Jacobi:
Como
temos
logo
Passo 3
Agora a gente acha os autovalores de
. A matriz é
O polinômio característico é
Então os autovalores são
.
Isso dá .
Isso dá
Passo 4
Agora Gauss–Seidel:
Temos
A inversa de
(que é triangular) é
Multiplicando:
Então
Passo 5
Pra achar o raio espectral de
, note que ela é triangular, então os autovalores estão na diagonal:
e
.
Logo
Logo
Passo 6
Discussão rápida:
- A condição de convergência é
. - Em Jacobi temos
, convergente. - Em Gauss–Seidel
, também convergente. - Como
, o Gauss–Seidel costuma convergir mais rápido que o Jacobi pra esse sistema.
Resposta
B_J=
,
;
B_{GS}= ,
.
Ambos convergem ( ), mas Gauss–Seidel é mais rápido porque tem raio espectral menor.
B_{GS}=
Ambos convergem (