A condição necessária e suficiente de convergência para métodos iterativos é que o raio espectral da matriz iteração B seja menor que um. Considere o seguinte sistema linear:
[ll 4 & 5 1 & 2 ][l x1 x2 ]=[l 1 1 ]
Encontre as matrizes de iteração para os métodos de Gauss-Seidel e Gauss-Jacobi. Calcule os raios espectrais. Discuta os resultados obtidos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente achar as matrizes de iteração dos métodos de Jacobi e Gauss–Seidel pro sistema
A x = b, A = 4 & 51 & 2,; b=11
Isso faz parte de métodos iterativos em álgebra linear – a ideia é escrever (diagonal + estritamente inferior + estritamente superior) e usar fórmulas conhecidas:
  • Jacobi: .
  • Gauss–Seidel: .
    Depois a gente calcula o raio espectral pra ver se e discute a convergência.

Passo 2

Primeiro define D=4&00&2,; L=0&01&0,; U=0&50&0 :
BJ=-D^-1(L+U)
No método de Jacobi:
D^-1=1/4&00&1/2, L+U=0&51&0,
Como
D^-1(L+U) =1/4&00&1/2 0&51&0 =0&5/41/2&0,
temos
BJ = -0&5/41/2&0 =0&-5/4-1/2&0
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Passo 3

Agora a gente acha os autovalores de BJ=0 & -5/4-1/2 & 0 . A matriz é
det(BJ-lambda I) =det-lambda & -5/4-1/2 & -lambda =lambda^2-tfrac58=0
O polinômio característico é
Então os autovalores são
.
Isso dá .

Passo 4

Agora Gauss–Seidel:
BGS=-(D+L)^-1U
Temos
D+L=4&01&2, U=0&50&0
A inversa de (D+L)^-1 =1/4&0-1/8&1/2 (que é triangular) é
(D+L)^-1U =1/4&0-1/8&1/2 0&50&0 =0&5/40&-5/8
Multiplicando:
BGS =-0&5/40&-5/8 =0&-5/40&5/8
Então

Passo 5

Pra achar o raio espectral de rho(BGS)=max(|0|,|5/8|)=5/8=0,625 , note que ela é triangular, então os autovalores estão na diagonal: e .
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Passo 6

Discussão rápida:
  • A condição de convergência é .
  • Em Jacobi temos , convergente.
  • Em Gauss–Seidel , também convergente.
  • Como , o Gauss–Seidel costuma convergir mais rápido que o Jacobi pra esse sistema.

Resposta

B_J= 0&-5/4-1/2&0, 0&-5/40&5/8;
B_{GS}= , .
Ambos convergem ( ), mas Gauss–Seidel é mais rápido porque tem raio espectral menor.

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