Resolva o sistema linear
c 10 x1+x2-x3=10 x1+10 x2+x3=12 2 x1-x2+10 x3=11
utilizando o método de Jacobi e o Método de Gauss-Seidel, tendo como condição inicial o vetor nulo. Considere como critério de parada a norma infinito da diferença entre aproximações, que deverá ser menor que 10^-2. Argumente a respeito da garantia de convergência dos métodos. Qual método converge mais rápido à solução aproximada?

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra resolver este sistema linear por dois métodos iterativos (Jacobi e Gauss-Seidel), começando do vetor nulo e parando quando a norma infinito da diferença entre duas iterações sucessivas for menor que .
Conteúdo: métodos iterativos em álgebra linear (Jacobi e Gauss-Seidel), norma infinito e critério de convergência.
Vamos precisar isolar cada , verificar convergência (matriz diagonalmente dominante) e depois calcular as iterações até atingir a tolerância.

Passo 2

Primeiro, escrevemos as fórmulas de atualização:
Para Jacobi, na iteração x1^(k+1) = dfrac10 - x2^(k) + x3^(k)10,[6pt] x2^(k+1) = dfrac12 - x1^(k) - x3^(k)10,[6pt] x3^(k+1) = dfrac11 - 2,x1^(k) + x2^(k)10 , usando só valores da iteração x1^(k+1) = dfrac10 - x2^(k) + x3^(k)10,[6pt] x2^(k+1) = dfrac12 - x1^(k+1) - x3^(k)10,[6pt] x3^(k+1) = dfrac11 - 2,x1^(k+1) + x2^(k+1)10 :
10&1&-11&10&12&-1&10
Para Gauss-Seidel, vamos atualizando em sequ­ência dentro da própria iteração:
Antes de calcular, a gente vê que a matriz dos coeficientes é
,
que é estritamente diagonalmente dominante (cada ). Isso garante que Jacobi e Gauss-Seidel vão convergir.

Passo 3

Método de Jacobi, com , até :
k=1:
,
k=2:
,
k=3:
,
k=4:
, .
Ou seja, Jacobi parou em 4 iterações, dando
.

Passo 4

Método de Gauss-Seidel, com :
k=1:
,
k=2:
,
k=3:
, .
Gauss-Seidel parou em 3 iterações, com
.

Passo 5

Teoria diz que, em matriz estritamente diagonalmente dominante, ambos os métodos convergem. A diferença é que Gauss-Seidel usa valores mais “frescos” dentro da iteração, então costuma convergir mais rápido. Foi isso que vimos: Jacobi levou 4 iterações, Gauss-Seidel só 3.

Resposta

Solução aproximada:

Gauss-Seidel converge mais rápido (3 iterações) que Jacobi (4 iterações).

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