utilizando o método de Jacobi e o Método de Gauss-Seidel, tendo como condição inicial o vetor nulo. Considere como critério de parada a norma infinito da diferença entre aproximações, que deverá ser menor que 10^-2. Argumente a respeito da garantia de convergência dos métodos. Qual método converge mais rápido à solução aproximada?
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra resolver este sistema linear por dois métodos iterativos (Jacobi e Gauss-Seidel), começando do vetor nulo e parando quando a norma infinito da diferença entre duas iterações sucessivas for menor que .
Conteúdo: métodos iterativos em álgebra linear (Jacobi e Gauss-Seidel), norma infinito e critério de convergência.
Vamos precisar isolar cada , verificar convergência (matriz diagonalmente dominante) e depois calcular as iterações até atingir a tolerância.
Passo 2
Primeiro, escrevemos as fórmulas de atualização:
Para Jacobi, na iteração x1^(k+1) = dfrac10 - x2^(k) + x3^(k)10,[6pt] x2^(k+1) = dfrac12 - x1^(k) - x3^(k)10,[6pt] x3^(k+1) = dfrac11 - 2,x1^(k) + x2^(k)10 , usando só valores da iteração x1^(k+1) = dfrac10 - x2^(k) + x3^(k)10,[6pt] x2^(k+1) = dfrac12 - x1^(k+1) - x3^(k)10,[6pt] x3^(k+1) = dfrac11 - 2,x1^(k+1) + x2^(k+1)10 :
10&1&-11&10&12&-1&10
Para Gauss-Seidel, vamos atualizando em sequência dentro da própria iteração:
Antes de calcular, a gente vê que a matriz dos coeficientes é ,
que é estritamente diagonalmente dominante (cada ). Isso garante que Jacobi e Gauss-Seidel vão convergir.
Passo 3
Método de Jacobi, com , até :
k=1: ,
k=2: ,
k=3: ,
k=4: , .
Ou seja, Jacobi parou em 4 iterações, dando .
Passo 4
Método de Gauss-Seidel, com :
k=1: ,
k=2: ,
k=3: , .
Gauss-Seidel parou em 3 iterações, com .
Passo 5
Teoria diz que, em matriz estritamente diagonalmente dominante, ambos os métodos convergem. A diferença é que Gauss-Seidel usa valores mais “frescos” dentro da iteração, então costuma convergir mais rápido. Foi isso que vimos: Jacobi levou 4 iterações, Gauss-Seidel só 3.
Resposta
Solução aproximada:
Gauss-Seidel converge mais rápido (3 iterações) que Jacobi (4 iterações).