Considere a matriz A e o vetor b abaixo:
A=[ccc 2 & 3 & 1 4 & 7 & 3 6 & 18 & 5 ] b=[l 0 0 1 ]
Aplique o método da eliminação de Gauss sem pivoteamento para calcular a solução do sistema linear A x=b. Argumente quem são as matrizes L triangular inferior com diagonal unitária e U triangular superior tal que A=L U. Utilize a decomposição LU para calcular a inversa de A.
Observação: O cálculo da inversa de uma matriz:
No processo do cálculo da inversa de uma matriz A de ordem n, det(A) neq 0, devemos obter vetores bj, j=1, ldots, n, de forma que
A[b1 b2 ldots bn]=[llll e1 & e2 & ldots & en ]
em que ej é o vetor canônico j, j=1, ldots, n.

Passo 1

Beleza, vamos lá: o enunciado manda resolver o sistema
A x = b, A=2&3&14&7&36&18&5,; b=001,
usando eliminação de Gauss sem pivoteamento, descobrir a fatoração (com unitária e triangular superior) e, depois, usar essa decomposição pra achar .
Conteúdo: sistema linear, eliminação de Gauss, fatoração LU, seguida de resolução de sistemas e pra montar a inversa. Não vamos pular etapas!

Passo 2

Eliminação de Gauss em 2&3&1&|&0 4&7&3&|&0 6&18&5&|&1 :
2&3&1&|&0 0&1&1&|&0 0&9&2&|&1
  1. Eliminar abaixo do pivô 2&3&1&|&0 0&1&1&|&0 0&0&-7&|&1 :
  • :
    .
  • :
    .
  1. Eliminar abaixo de :
  • :
    .
Agora voltamos pra trás (back-substitution):
  • Da 3ª linha: .
  • Da 2ª linha: .
  • Da 1ª linha:

Passo 3

Os multiplicadores que usamos são
m21=tfrac42=2,; m31=tfrac62=3,; m32=tfrac91=9
Então
L= 1&0&0 2&1&0 3&9&1 , U= 2&3&1 0&1&1 0&0&-7 ,
e de fato .

Passo 4

Pra achar y=(1,-2,15)^T,; b1=l(tfrac1914,,tfrac17,,-tfrac157r)^T , resolvemos y=(0,1,-9)^T,; b2=l(-tfrac314,,-tfrac27,,tfrac97r)^T para y=(0,0,1)^T,; b3=l(-tfrac17,,tfrac17,,-tfrac17r)^T usando A^-1= tfrac1914&-tfrac314&-tfrac17 tfrac17&-tfrac27&tfrac17 -tfrac157&tfrac97&-tfrac17 . Ou seja, pra cada fazemos:
  1. (forward substitution).
  2. (back substitution).
    Os resultados são:
    j=1, :
j=2, :
j=3, :
Montando as colunas ,

Resposta

x = 1&0&02&1&03&9&1
2&3&10&1&10&0&-7
A^-1= tfrac1914&-tfrac314&-tfrac17 tfrac17&-tfrac27&tfrac17 -tfrac157&tfrac97&-tfrac17

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