Aplique o método da eliminação de Gauss sem pivoteamento para calcular a solução do sistema linear A x=b. Argumente quem são as matrizes L triangular inferior com diagonal unitária e U triangular superior tal que A=L U. Utilize a decomposição LU para calcular a inversa de A.
Observação: O cálculo da inversa de uma matriz:
No processo do cálculo da inversa de uma matriz A de ordem n, det(A) neq 0, devemos obter vetores bj, j=1, ldots, n, de forma que
A[b1 b2 ldots bn]=[llll e1 & e2 & ldots & en ]
em que ej é o vetor canônico j, j=1, ldots, n.
Passo 1
Beleza, vamos lá: o enunciado manda resolver o sistema
A x = b, A=2&3&14&7&36&18&5,; b=001,
usando eliminação de Gauss sem pivoteamento, descobrir a fatoração (com unitária e triangular superior) e, depois, usar essa decomposição pra achar .
Conteúdo: sistema linear, eliminação de Gauss, fatoração LU, seguida de resolução de sistemas e pra montar a inversa. Não vamos pular etapas!
Passo 2
Eliminação de Gauss em 2&3&1&|&0 4&7&3&|&0 6&18&5&|&1 :
2&3&1&|&0 0&1&1&|&0 0&9&2&|&1
Eliminar abaixo do pivô 2&3&1&|&0 0&1&1&|&0 0&0&-7&|&1 :
: .
: .
Eliminar abaixo de :
: .
Agora voltamos pra trás (back-substitution):
Da 3ª linha: .
Da 2ª linha: .
Da 1ª linha:
Passo 3
Os multiplicadores que usamos são
m21=tfrac42=2,; m31=tfrac62=3,; m32=tfrac91=9
Então
L= 1&0&0 2&1&0 3&9&1 , U= 2&3&1 0&1&1 0&0&-7 ,
e de fato .
Passo 4
Pra achar y=(1,-2,15)^T,; b1=l(tfrac1914,,tfrac17,,-tfrac157r)^T , resolvemos y=(0,1,-9)^T,; b2=l(-tfrac314,,-tfrac27,,tfrac97r)^T para y=(0,0,1)^T,; b3=l(-tfrac17,,tfrac17,,-tfrac17r)^T usando A^-1= tfrac1914&-tfrac314&-tfrac17 tfrac17&-tfrac27&tfrac17 -tfrac157&tfrac97&-tfrac17 . Ou seja, pra cada fazemos: