O número de condição de uma matriz A, definido por kappa(A), é uma métrica que estima a sensibilidade da solução de um sistema a pequenas variações em A e b. O número de condição pode ser calculado na forma
kappa(A)=|A mid| A |^-1. Um número de condição próximo a 1 implica em baixa propagação de perturbações. Calcule o número de condição da matriz
A=[ll 1 & 2 3 & 4 ]

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é achar o número de condição de
A=1&23&4,
que a gente chama de
.
Isso serve pra medir o quanto um errozinho em ou em vai bagunçar a solução de .
O que precisamos saber:
1) como achar ;
2) escolher uma norma matricial (vamos usar a norma-∞, ou “norma das linhas”, que é simples de calcular);
3) calcular e ;
4) multiplicar pra fechar o .

Passo 2

Primeiro, vamos achar a inversa de A^-1=1det(A)d&-b-c&a, . A fórmula pra inversa de 2×2 é
a&bc&d
se A^-1=1-24&-2-3&1 =-2&11.5&-0.5 .
No nosso caso,
,
então

Passo 3

Agora, a norma-∞ de uma matriz é o máximo da soma absoluta dos elementos de cada linha.
Para |A|infty = max3,7 = 7 :
linha 1 → ,
linha 2 → .
Logo

Passo 4

Para |A^-1|infty = max3,2 = 3 :
linha 1 → ,
linha 2 → .
Logo

Passo 5

Finalmente, o número de condição é
kappa(A) = |A|infty ,|A^-1|infty = 7 times 3 = 21

Resposta

boxedkappa(A) = 21

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