Com as condições de convergência garantida, use 2 iterações do Método Gauss-Seidel a partir de x^0=(0,0,0)^T para aproximar a solução do sistema linear a seguir:
ll x1-4 x2+2 x3 & =-1 3 x1+x2+x3 & =5 x2+2 x3 & =3
Neste caso. a solução aproximada x^2 é dada por:
(A) (1.0972,1.0556,0.9514)^T
(B) (1.6667,0.6667,1.1667)^T
© (-78.000,223.500,-110.250)^T
(D) (36.000,-100.500,51.750)^2
(E) (1.0556, 10072 0.951 IT
(F) (-0.6111,-0.3194 1 699)^r

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o Método de Gauss-Seidel! O enunciado pede para fazer duas iterações começando de $ x^{0} = (0, 0, 0)^T $. A matéria aqui envolve métodos iterativos para resolver sistemas lineares, especificamente o Gauss-Seidel, que é uma técnica para aproximar soluções quando resolver diretamente pode ser complicado. Vamos precisar reorganizar as equações para expressar cada variável em termos das outras e usar essas fórmulas para atualizar nossos valores a cada iteração.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar as equações para expressar cada $ x_i $ em termos das outras variáveis:
  1. Da primeira equação: $ x_1 - 4x_2 + 2x_3 = -1 $
    xi
  2. Da segunda equação: $ 3x_1 + x_2 + x_3 = 5 $
    x1 - 4x2 + 2x3 = -1
  3. Da terceira equação: $ x_2 + 2x_3 = 3 $
    x1 = -1 + 4x2 - 2x3
Essas expressões nos permitirão atualizar os valores de $ x_1 $, $ x_2 $ e $ x_3 $ em cada iteração.

Passo 3

Agora, começamos com a aproximação inicial $ x^{0} = (0, 0, 0)^T x^0 = (0, 0, 0)^T çã x^{1} $):
  1. Calcular $ x_3^{1} $:
    x^1
  2. Calcular $ x_2^{1} $:
    x3^1
  3. Calcular $ x_1^{1} $:
    x3^1 = 3 - x2^02 = 3 - 02 = 1.5
Então, após a primeira iteração, temos $ x^{1} = (10, 3.5, 1.5)^T $.

Passo 4

Agora vamos para a segunda iteração ($ x^{2} $) usando $ x^{1} $:
  1. Calcular $ x_3^{2} $:
    x^2
  2. Calcular $ x_2^{2} $:
    x^1
  3. Calcular $ x_1^{2} $:
    x3^2
Então, após a segunda iteração, temos $ x^{2} = (-99.5, -24.75, -0.25)^T $.

Resposta

Nenhuma das alternativas fornecidas corresponde a $ x^{2} = (-99.5, -24.75, -0.25)^T $. Parece que houve algum erro nos cálculos ou nas alternativas apresentadas.

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