Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o Método de Gauss-Seidel! O enunciado pede para fazer duas iterações começando de $ x^{0} = (0, 0, 0)^T $. A matéria aqui envolve métodos iterativos para resolver sistemas lineares, especificamente o Gauss-Seidel, que é uma técnica para aproximar soluções quando resolver diretamente pode ser complicado. Vamos precisar reorganizar as equações para expressar cada variável em termos das outras e usar essas fórmulas para atualizar nossos valores a cada iteração.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar as equações para expressar cada $ x_i $ em termos das outras variáveis:
Da primeira equação: $ x_1 - 4x_2 + 2x_3 = -1 $
xi
Da segunda equação: $ 3x_1 + x_2 + x_3 = 5 $
x1 - 4x2 + 2x3 = -1
Da terceira equação: $ x_2 + 2x_3 = 3 $
x1 = -1 + 4x2 - 2x3
Essas expressões nos permitirão atualizar os valores de $ x_1 $, $ x_2 $ e $ x_3 $ em cada iteração.
Passo 3
Agora, começamos com a aproximação inicial $ x^{0} = (0, 0, 0)^T x^0 = (0, 0, 0)^T çã x^{1} $):
Calcular $ x_3^{1} $:
x^1
Calcular $ x_2^{1} $:
x3^1
Calcular $ x_1^{1} $:
x3^1 = 3 - x2^02 = 3 - 02 = 1.5
Então, após a primeira iteração, temos $ x^{1} = (10, 3.5, 1.5)^T $.
Passo 4
Agora vamos para a segunda iteração ($ x^{2} $) usando $ x^{1} $:
Calcular $ x_3^{2} $:
x^2
Calcular $ x_2^{2} $:
x^1
Calcular $ x_1^{2} $:
x3^2
Então, após a segunda iteração, temos $ x^{2} = (-99.5, -24.75, -0.25)^T $.
Resposta
Nenhuma das alternativas fornecidas corresponde a $ x^{2} = (-99.5, -24.75, -0.25)^T $. Parece que houve algum erro nos cálculos ou nas alternativas apresentadas.