[Manual] Resolva os sistemas pelo método da Eliminação de Gauss e em seguida fazendo substituição retroativa.
4 x1-x2+x3 & =8 2 x1+5 x2+2 x3 & =3 x1+2 x2+4 x3 & =11

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
4x1-x2+x3=8, 2x1+5x2+2x3=3, x1+2x2+4x3=11
usando o método da Eliminação de Gauss (transformar o sistema numa forma triangular superior por operações em linhas) e depois fazer a substituição retroativa.
Conteúdo: Álgebra Linear básica – sistema linear, matriz aumentada, operações elementares em linhas e substituição retroativa.

Passo 2

Vamos montar a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada é assim:
[ccc|c 4 & -1 & 1 & 8 2 & 5 & 2 & 3 1 & 2 & 4 & 11 ]
O que a gente faz agora é usar operações do tipo
– trocar linhas,
– multiplicar uma linha por escalar não nulo,
– somar múltiplos de uma linha em outra,
para zerar tudo abaixo do pivô (primeiro elemento da linha) e ficar com triângulo superior.

Passo 3

Primeiro pivô: elemento (1,1) = 4. Queremos zerar abaixo: em R₂ e R₃.
– R₂ ← R₂ – (1/2) R₁
– R₃ ← R₃ – (1/4) R₁
Calculemos:
R₂:
l[2,,5,,2mid3r] - tfrac12l[4,,-1,,1mid8r] = l[2-2,;5+tfrac12,;2-tfrac12mid3-4r] = l[0,tfrac112,tfrac32mid-1r]
R₃:
l[1,,2,,4mid11r] - tfrac14l[4,,-1,,1mid8r] = l[0,,2+tfrac14,,4-tfrac14mid11-2r] = l[0,tfrac94,tfrac154mid9r]
Agora a matriz é
[ccc|c 4 & -1 & 1 & 8 0 & tfrac112 & tfrac32 & -1 0 & tfrac94 & tfrac154 & 9 ]

Passo 4

Segundo pivô: elemento (2,2) = 11/2. Queremos zerar em R₃ a coluna 2.
Fazemos R₃ ← R₃ – tfrac154 ;-;tfrac922cdottfrac32 =tfrac154-tfrac2744 =tfrac16544-tfrac2744 =tfrac13844 =tfrac6922 R₂ = R₃ – 9-tfrac922cdot(-1) =9+tfrac922 =tfrac19822+tfrac922 =tfrac20722 R₂ = R₃ – [ccc|c 4 & -1 & 1 & 8 0 & tfrac112 & tfrac32 & -1 0 & 0 & tfrac6922 & tfrac20722 ] R₂.
Calculando R₃:
– Coluna 2 fica zero por construção.
– Coluna 3:
– Lado direito:
Agora a matriz está triangular superior:

Passo 5

Substituição retroativa:
Da terceira linha:
tfrac6922,x3 = tfrac20722 Longrightarrow x3 = 207/2269/22 = 20769 = 3
Da segunda linha:
tfrac112,x2 ;+;tfrac32,x3 = -1 Longrightarrow tfrac112,x2 + tfrac32cdot3 = -1 ;Longrightarrow; tfrac112,x2 + tfrac92 = -1 ;Longrightarrow; tfrac112,x2 = -tfrac112 ;Longrightarrow; x2 = -1
Da primeira linha:
4,x1 - x2 + x3 = 8 Longrightarrow 4x1 -(-1) + 3 = 8 ;Longrightarrow; 4x1 +1 +3 =8 ;Longrightarrow; 4x1=4 ;Longrightarrow; x1=1

Resposta

boxedx1=1, x2=-1, x3=3

Exercícios relacionados