Confirme que y=3 e^x^3 é uma solução do problema de valor inicial y^prime= 3 x^2 y, y(0)=3.

Passo 1

Beleza, o exercício é assim: a gente precisa confirmar que
y = 3e^x^3
é solução do problema de valor inicial
y' = 3x^2,y, y(0)=3
Isso cai em Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) de 1ª ordem, mais especificamente um problema de valor inicial. Para resolver, vamos precisar saber como derivar uma exponencial e como testar a condição inicial.

Passo 2

Primeiro, bora calcular a derivada de y = 3e^x^3.
y' = ddxl(3e^x^3r) = 3 cdot ddxl(e^x^3r) = 3 cdot l(3x^2e^x^3r) = 9x^2e^x^3
A regra é: .
Aqui , então .
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Passo 3

Agora, vamos ver o que dá 3x^2,y = 3x^2 l(3e^x^3r) = 9x^2e^x^3 (o lado direito da EDO):
y' = 9x^2e^x^3 e 3x^2,y = 9x^2e^x^3,
Repara que deu exatamente a mesma coisa que encontramos para . Ou seja,
logo a EDO está satisfeita.

Passo 4

Só falta checar a condição inicial y(0) = 3e^0^3 = 3e^0 = 3cdot1 = 3 :
Perfeito, bate certinho.

Resposta

Sim, é solução do problema de valor inicial dado, pois satisfaz tanto a equação diferencial quanto a condição .

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