O gráfico de uma função diferenciável y=y(x) passa pelo ponto (0,1) e em cada ponto P(x, y) do gráfico a reta tangente é perpendicular à reta que passa por P e pela origem. Encontre um problema de valor inicial cuja solução seja y(x).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado está pedindo. A gente tem uma função diferenciável que passa pelo ponto . Em cada ponto do gráfico, a reta tangente é perpendicular à reta que liga à origem .
Conteúdo: derivadas e geometria analítica (declividade de retas e condição de perpendicularidade).
O que precisamos:
  • Expressar a inclinação (slope) da reta que vai do ponto até .
  • Usar a definição de reta tangente: sua inclinação é .
  • Impor a condição de perpendicularidade entre as duas retas para achar uma equação diferencial.
  • Anotar o “valor inicial” que vem do ponto .

Passo 2

Primeiro, qual é a inclinação da reta que liga a origem m = y2 - y1x2 - x1 ao ponto mori>=m-P = y-0x-0 = yx ?
A fórmula de inclinação entre dois pontos e é
Aqui e , então

Passo 3

Agora, a reta tangente no ponto mtang;cdot;mori>=m-P = -1 tem inclinação y' ,cdot, yx = -1 Longrightarrow y' = -,xy .
Como as duas retas são perpendiculares, vale a condição
Substituindo:
Pronto, essa é a nossa equação diferencial.

Passo 4

Falta só o valor inicial, que é dado pelo ponto y(0) = 1 . Isso significa

Resposta

O problema de valor inicial é
dydx = -,xy,[6pt] y(0) = 1

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