O gráfico de uma função diferenciável
passa pelo ponto
e em cada ponto
do gráfico a reta tangente é perpendicular à reta que passa por
e pela origem. Encontre um problema de valor inicial cuja solução seja
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o enunciado está pedindo. A gente tem uma função diferenciável
que passa pelo ponto
. Em cada ponto
do gráfico, a reta tangente é perpendicular à reta que liga
à origem
.
Conteúdo: derivadas e geometria analítica (declividade de retas e condição de perpendicularidade).
O que precisamos:
Conteúdo: derivadas e geometria analítica (declividade de retas e condição de perpendicularidade).
O que precisamos:
- Expressar a inclinação (slope) da reta que vai do ponto
até . - Usar a definição de reta tangente: sua inclinação é
. - Impor a condição de perpendicularidade entre as duas retas para achar uma equação diferencial.
- Anotar o “valor inicial” que vem do ponto
.
Passo 2
Primeiro, qual é a inclinação da reta que liga a origem
ao ponto
?
A fórmula de inclinação entre dois pontos e
é
A fórmula de inclinação entre dois pontos
Aqui
e
, então
Passo 3
Agora, a reta tangente no ponto
tem inclinação
.
Como as duas retas são perpendiculares, vale a condição
Como as duas retas são perpendiculares, vale a condição
Substituindo:
Pronto, essa é a nossa equação diferencial.
Passo 4
Falta só o valor inicial, que é dado pelo ponto
. Isso significa
Resposta
O problema de valor inicial é