Conhecemos somente os valores f(0), f(1), f(2) e f(4) de uma função real f. Queremos aproximar f(1,5) por interpolação polinomial. É falso afirmar que:
A Usando todos os valores conhecidos, o polinômio de Lagrange comete geralmente um erro de truncamento maior do que o polinômio de Newton.
B Usando todos os valores conhecidos, o erro de truncamento é nulo se f for um polinômio de grau menor ou igual a 3 .
C] Não é possível calcular a cota superior do erro de truncamento cometido.
D O polinômio de Gregory-Newton permite realizar uma interpolação quadrática.
E] O erro de truncamento pode ser menor usando somente três dos quatro valores conhecidos.

Passo 1

O enunciado diz que a gente conhece só os valores f(0), f(1), f(2) e f(4) de uma função real f, e quer aproximar f(1,5) por interpolação polinomial.
Conteúdo: interpolação de Lagrange, de Newton (incluindo Gregory-Newton) e análise de erro (termo de resto).
O que vamos precisar:
• Saber que Lagrange e Newton geram o mesmo polinômio (mesmo erro).
• Expressão geral do resto da interpolação polinomial:
Rn(x)=f^(n+1)(xi)(n+1)!prodi=0^n(x-xi)
• Entender como escolher subconjuntos de pontos pode mudar o erro.

Passo 2

Analisando a afirmação A:
“A Usando todos os valores conhecidos, o polinômio de Lagrange comete geralmente um erro de truncamento maior do que o polinômio de Newton.”
Teoria básica: o polinômio de Lagrange e o polinômio de Newton (seja na forma clássica ou na forma de Gregory-Newton) são rigorosamente o mesmo polinômio interpolador quando usam os mesmos nós. Logo, o erro de truncamento é idêntico em ambos os casos.
Conclusão: a afirmação A está errada (é falsa).

Passo 3

Só para confirmar as demais são verdadeiras:
B Se f é polinômio de grau ≤3, o resto = 0 porque .
C Como não temos fórmula da f e nem , realmente não podemos calcular numericamente a cota do erro—logo a frase “não é possível calcular” é verdadeira.
D O método Gregory-Newton é só uma forma de Newton para nós equiespaçados; com 3 pontos equiespaçados a gente monta um polinômio de grau 2, ou seja, faz interpolação quadrática sem problema.
E É comum que, dependendo de onde queremos o valor (aqui em 1,5), usar só 3 nós (por exemplo 0, 1 e 2) dê um polinômio “menor oscilatório” perto de 1,5 e, às vezes, até erro menor.

Resposta

A

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