Considere estas avaliações f(x)=360x+2+x-30:
c|cccccccc $x$ & 2 & 3 & 4 & 6 & 7 & 8 & 10 & 13 hline$f(x)$ & 62 & 45 & 34 & 21 & 17 & 14 & 10 & 7 2 3 4 6 7 8 10 13
f(8,4) 62 45 34 21 17 14 10 7
Escolha na tabela acima os pontos recomendados para aproximar por interpolação quadrática. Sem realizar essa aproximação, qual é a cota superior do erro de truncamento?
(A) 0,0115
(B) 0,0237
© 0,0617
(D) 0,0364
(E) 0,0492

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para aproximar R2(x)=f^(3)(xi)3!(x-x0)(x-x1)(x-x2) por interpolação quadrática usando três pontos da tabela e, sem fazer a aproximação em si, encontrar a cota superior do erro de truncamento (ou resto de Lagrange) dessa interpolação.
Conteúdo: interpolação polinomial (grau 2) e cota de erro pelo termo de resto.
O que vamos precisar:
  1. Escolher os três pontos mais “pertinhos” de .
  2. Saber a fórmula do resto de Lagrange para grau 2:
  1. Estimar o máximo de no intervalo que cobre nossos pontos.
  2. Avaliar numericamente a cota.

Passo 2

Primeiro, quais pontos da tabela escolher? Geralmente pegamos os três abscissas mais próximas de para minimizar . Olhando a tabela:
  • Distâncias a partir de 8,4:
    • 7 → |8,4−7|=1,4
    • 8 → |8,4−8|=0,4
    • 10 → |8,4−10|=1,6
    Essas três (7, 8 e 10) são as que dão o produto de distâncias menor. Logo, escolhemos , , .

Passo 3

Agora a teoria do resto. Para interpolação de grau 2, o erro em R2(x)=f^(3)(xi)3!,(x-x0)(x-x1)(x-x2) é
l|R2(x)r|<= maxxiin[7,10]|f^(3)(xi)|6,l| (x-7)(x-8)(x-10)r|
para algum entre o menor e o maior dos nós ( e ). A cota superior é

Passo 4

Precisamos da terceira derivada de
f(x)=360x+2+x-30
Vamos derivar:
  1. max|f^(3)(xi)|=21606561approx0,329 .
  2. .
  3. .
No intervalo , o denominador varia de a . O valor máximo de ocorre no menor denominador, que é . Logo

Passo 5

Agora colocamos tudo na fórmula da cota em |(8,4-7)(8,4-8)(8,4-10)|=1,4times0,4times1,6=0,896 :
|R2(8,4)|<= 0,3296times0,896 approx0,0491approx0,0492
Então

Resposta

A cota superior do erro de truncamento é 0,0492. Portanto, a alternativa correta é a (E).

Exercícios relacionados