Beleza, vamos lá! O enunciado pede para aproximar por interpolação quadrática usando três pontos da tabela e, sem fazer a aproximação em si, encontrar a cota superior do erro de truncamento (ou resto de Lagrange) dessa interpolação.
Conteúdo: interpolação polinomial (grau 2) e cota de erro pelo termo de resto.
O que vamos precisar:
Escolher os três pontos mais “pertinhos” de .
Saber a fórmula do resto de Lagrange para grau 2:
Estimar o máximo de no intervalo que cobre nossos pontos.
Avaliar numericamente a cota.
Passo 2
Primeiro, quais pontos da tabela escolher? Geralmente pegamos os três abscissas mais próximas de para minimizar . Olhando a tabela:
Distâncias a partir de 8,4:
• 7 → |8,4−7|=1,4
• 8 → |8,4−8|=0,4
• 10 → |8,4−10|=1,6
Essas três (7, 8 e 10) são as que dão o produto de distâncias menor. Logo, escolhemos , , .
Passo 3
Agora a teoria do resto. Para interpolação de grau 2, o erro em é
para algum entre o menor e o maior dos nós ( e ). A cota superior é
Passo 4
Precisamos da terceira derivada de
f(x)=360x+2+x-30
Vamos derivar:
max|f^(3)(xi)|=21606561approx0,329 .
.
.
No intervalo , o denominador varia de a . O valor máximo de ocorre no menor denominador, que é . Logo
Passo 5
Agora colocamos tudo na fórmula da cota em |(8,4-7)(8,4-8)(8,4-10)|=1,4times0,4times1,6=0,896 :