Para o conjunto de pontos (0,1),(2,3),(4,2), utilizando o método de Lagrange, calcule o polinômio interpolador e calcule f(3). Plote o gráfico com os pontos, o polinômio interpolador e o ponto (3, f(3)).

Passo 1

O exercício pede que a gente ache o polinômio interpolador pelo método de Lagrange para os pontos
{(0,1), (2,3), (4,2)}, calcule o valor desse polinômio e faça um gráfico que mostre os 4 pontos e junto com a curva do polinômio.
Conteúdo: interpolação polinomial de Lagrange.
O que vamos precisar:
  • Entender o conceito de funções base de Lagrange .
  • Montar .
  • Substituir em .
  • Para o gráfico, gerar valores de e plotar e os pontos.

Passo 2

Vamos construir cada função de Lagrange P(x)=y0L0(x)+y1L1(x)+y2L2(x) =1cdot(x-2)(x-4)8 +3cdotl(-x(x-4)4r) +2cdotx(x-2)8 . Chamando
P(x)=-38x^2+74x+1 , temos:



O polinômio é
Expandindo em forma padrão (coeficientes em frações):

Passo 3

Para achar f(3)=P(3) =-38cdot3^2+74cdot3+1 =-278+214+1 =-27+42+88 =238=2,875 , basta pôr em :

Passo 4

Como a gente faz o gráfico:
  1. Escolhe uma sequência de em , tipo 100 pontos igualmente espaçados.
  2. Calcula para cada um.
  3. Plota a curva suave .
  4. Marca os pontos originais e o novo .
    Você pode usar Python/matplotlib, Excel ou desenhar à mão ligando esses pontos suavemente.

Resposta

Polinômio interpolador:
boxedP(x)=-38x^2+74x+1,
e
boxedf(3)=238=2,875

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