Para o conjunto de pontos (0,1),(2,3),(4,2), utilizando o método de Newton, calcule o polinômio interpolador, calcule f(3) e plote o gráfico com os pontos, o polinômio interpolador e o ponto (3, f(3)).

Passo 1

Então, o exercício diz que a gente tem três pontos , e . A matéria envolvida é interpolação polinomial pelo método de Newton, que usa as tais “diferenças divididas” para construir um polinômio que passa exatamente por esses pontos. Para resolver, vamos precisar de:
  1. Montar a tabela de diferenças divididas.
  2. Escrever o polinômio de Newton usando essas diferenças.
  3. Substituir para achar .
  4. Mostrar um gráfico com os pontos, o polinômio e o novo ponto .

Passo 2

Vamos calcular as diferenças divididas passo a passo:
  1. Valores iniciais: f[x0]=f(0)=1, f[x1]=f(2)=3, f[x2]=f(4)=2
  2. Primeiras diferenças divididas: f[x0,x1]=f[x1]-f[x0]2-0 =3-12=1, f[x1,x2]=f[x2]-f[x1]4-2 =2-32=-tfrac12
  3. Segunda diferença dividida (entre f[x0,x1,x2] =f[x1,x2]-f[x0,x1]4-0 =-tfrac12 - 14 =-tfrac38 ):
Isso é tudo que precisamos para montar o polinômio de Newton.

Passo 3

O polinômio de Newton, em forma incremental, é
P(x) = f[x0] + f[x0,x1],(x - x0) + f[x0,x1,x2],(x - x0)(x - x1)
Substituindo valores:
P(x) = 1 + 1cdot(x - 0) - tfrac38,(x - 0)(x - 2)
Se expandirmos (só para deixar bonitinho):
P(x) = 1 + x - tfrac38(x^2 - 2x) = 1 + x - tfrac38x^2 + tfrac34x = -tfrac38x^2 + tfrac74x + 1

Passo 4

Agora, para achar f(3) = P(3) = -tfrac38cdot 3^2 + tfrac74cdot 3 + 1 = -tfrac278 + tfrac214 + 1 = tfrac238 = 2,875 , é só pôr em :

Passo 5

Para plotar, a gente pode usar Python e matplotlib. Um código simples seria:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Definindo o polinômio P(x)
def P(x):
    return -3/8*x**2 + 7/4*x + 1

# Pontos originais
xs = np.array([0,2,4])
ys = np.array([1,3,2])

# Valores para a curva
x_plot = np.linspace(0,4,200)
y_plot = P(x_plot)

# Plot
plt.plot(x_plot, y_plot, label='Polinômio Newton', color='blue')
plt.scatter(xs, ys, color='red', label='Pontos dados')
# Novo ponto (3, f(3))
plt.scatter(3, P(3), color='green', label='(3, f(3))')
plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Interpolação de Newton')
plt.grid(True)
plt.show()

Resposta

Polinômio interpolador:
P(x) = -38x^2 + 74x + 1
Valor em f(3) = 238 approx 2,875 :
O gráfico sai conforme o código acima, mostrando a curva do polinômio, os três pontos originais e o ponto .

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