Para o conjunto de pontos
, utilizando o método de Newton, calcule o polinômio interpolador, calcule
e plote o gráfico com os pontos, o polinômio interpolador e o ponto
.
Passo 1
Então, o exercício diz que a gente tem três pontos
,
e
. A matéria envolvida é interpolação polinomial pelo método de Newton, que usa as tais “diferenças divididas” para construir um polinômio que passa exatamente por esses pontos. Para resolver, vamos precisar de:
- Montar a tabela de diferenças divididas.
- Escrever o polinômio de Newton usando essas diferenças.
- Substituir
para achar . - Mostrar um gráfico com os pontos, o polinômio e o novo ponto
.
Passo 2
Vamos calcular as diferenças divididas passo a passo:
- Valores iniciais:
- Primeiras diferenças divididas:
- Segunda diferença dividida (entre
):
Isso é tudo que precisamos para montar o polinômio de Newton.
Passo 3
O polinômio de Newton, em forma incremental, é
Substituindo valores:
Se expandirmos (só para deixar bonitinho):
Passo 4
Agora, para achar
, é só pôr
em
:
Passo 5
Para plotar, a gente pode usar Python e matplotlib. Um código simples seria:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# Definindo o polinômio P(x)
def P(x):
return -3/8*x**2 + 7/4*x + 1
# Pontos originais
xs = np.array([0,2,4])
ys = np.array([1,3,2])
# Valores para a curva
x_plot = np.linspace(0,4,200)
y_plot = P(x_plot)
# Plot
plt.plot(x_plot, y_plot, label='Polinômio Newton', color='blue')
plt.scatter(xs, ys, color='red', label='Pontos dados')
# Novo ponto (3, f(3))
plt.scatter(3, P(3), color='green', label='(3, f(3))')
plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Interpolação de Newton')
plt.grid(True)
plt.show()
Resposta
Polinômio interpolador:
Valor em
:
O gráfico sai conforme o código acima, mostrando a curva do polinômio, os três pontos originais e o ponto
.