Interpole a função f(t)=e^2t+e^-2t por um polinômio de grau menor ou igual a 3 nos pontos ti=i cdot h, i=0, ldots, 3 e h=0,2. Use este polinômio para estimar o valor de f(0,5).

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente montar um polinômio de grau ≤ 3 que interpole
f(t)=e^2t+e^-2t
nos pontos
ti = i,h, i=0,1,2,3, h=0,2
ou seja .
Depois a gente usa esse polinômio para estimar .
Conteúdo: interpolação polinomial (vamos usar a forma de Lagrange).

Passo 2

Antes de sair calculando, lembra da fórmula de Lagrange:
P3(t);=;sumj=0^3 f(tj);Lj(t),
onde
Lj(t);=;prodsubstackk=0kneq j^3t - tktj - tk
Ou seja, a gente vai:
  1. calcular nos 4 pontos;
  2. escrever ;
  3. somar ;
  4. finalmente avaliar em .

Passo 3

Calculando f(0) &= e^0 + e^0 = 2, f(0.2) &= e^0.4 + e^-0.4approx 1,49182 + 0,67032 = 2,16214, f(0.4) &= e^0.8 + e^-0.8approx 2,22554 + 0,44933 = 2,67487, f(0.6) &= e^1.2 + e^-1.2approx 3,32012 + 0,30119 = 3,62131 :

Passo 4

Agora montamos cada L0(0.5)&=0.5-0.20-0.2;0.5-0.40-0.4;0.5-0.60-0.6 =0.0625, L1(0.5)&=0.5-0 0.2-0 ;0.5-0.40.2-0.4;0.5-0.60.2-0.6 =-0.3125, L2(0.5)&=0.5-0 0.4-0 ;0.5-0.20.4-0.2;0.5-0.60.4-0.6 =0.9375, L3(0.5)&=0.5-0 0.6-0 ;0.5-0.20.6-0.2;0.5-0.40.6-0.4 =0.3125 . Vou só mostrar os resultados de cada produto:

Passo 5

Agora a interpolação em P3(0.5) =sumj=0^3 f(tj),Lj(0.5) =2cdot0.0625+2.16214cdot(-0.3125)+2.67487cdot0.9375+3.62131cdot0.3125 approx3.08814 :

Passo 6

É sempre bom comparar com o valor exato .
A estimativa pelo polinômio ficou bem próxima ( ).

Resposta

A estimativa de boxed3.08814 pelo polinômio interpolador de grau 3 é aproximadamente

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