Interpole a função f(t)=e^2t+e^-2t por um polinômio de grau menor ou igual a 3 nos pontos ti=i cdot h, i=0, ldots, 3 e h=0,2. Estime o erro cometido na determinação da f(0,5). Em seguida, compare a estimativa com o erro efetivamente cometido.

Passo 1

Beleza, o problema pede para a gente aproximar a função
f(t)=e^2t+e^-2t
por um polinômio ti = i,h, i=0,dots,3, h=0,2 de grau até 3 nos pontos
R3(t)=f^(4)(xi)4!,(t-t0)(t-t1)(t-t2)(t-t3),
e aí usar a fórmula do resto da interpolação (que envolve a derivada de ordem 4) para estimar o erro em . Depois comparar essa estimativa com o erro “real” .
Conteúdo: interpolação polinomial (forma de Lagrange), fórmula do resto e cálculo de derivadas. Vamos precisar:
  1. calcular valores ,
  2. usar Lagrange para achar ,
  3. fórmula do erro:
  1. achar um limite para no intervalo.

Passo 2

Primeiro, os nós e t0=0,;t1=0,2,;t2=0,4,;t3=0,6 neles:
f(ti)=e^2ti+e^-2ti:
Calculemos
f(0)&=e^0+e^0=2, f(0,2)&=e^0,4+e^-0,4approx1,4918+0,6703=2,1621, f(0,4)&=e^0,8+e^-0,8approx2,2255+0,4493=2,6748, f(0,6)&=e^1,2+e^-1,2approx3,3201+0,3010=3,6211

Passo 3

Em vez de montar P3(0,5)=sumi=0^3 f(ti),Li(0,5), inteiro, vamos direto ao valor em Li(t)=prodjneq it-tjti-tj pela forma de Lagrange:
L0(0,5)&=(0,5-0,2)(0,5-0,4)(0,5-0,6) (0-0,2)(0-0,4)(0-0,6) =0,3cdot0,1cdot(-0,1)(-0,2)(-0,4)(-0,6)=0,0625, L1(0,5)&=(0,5-0)(0,5-0,4)(0,5-0,6) (0,2-0)(0,2-0,4)(0,2-0,6) =,-0,3125, L2(0,5)&=(0,5-0)(0,5-0,2)(0,5-0,6) (0,4-0)(0,4-0,2)(0,4-0,6) =0,9375, L3(0,5)&=(0,5-0)(0,5-0,2)(0,5-0,4) (0,6-0)(0,6-0,2)(0,6-0,4) =0,3125
onde
P3(0,5)&=2cdot0,0625+ 2,1621cdot(-0,3125)+ 2,6748cdot0,9375+ 3,6211cdot0,3125 &approx0,125-0,6757+2,5088+1,1316 =3,0897
Calculando cada dá:
Logo

Passo 4

Agora a estimativa de erro. A derivada de 4ª ordem de f^(4)(t)=16e^2t+16e^-2t=16,f(t) é
max[0,0.6]f^(4)(t)=16cdot3,6211approx57,94
No intervalo |R3(0,5)|<=57,944!;l|(0,5-0)(0,5-0,2)(0,5-0,4)(0,5-0,6)r| , o máximo de 0,5cdot0,3cdot0,1cdot(-0,1)=-0,0015,valor absoluto 0,0015 é em |R3(0,5)|<=57,9424cdot0,0015approx2,414cdot0,0015approx0,00362 , vale . Então
A fórmula do resto em
O produto é
Como ,

Passo 5

Erro “real” em f(0,5)=e^1+e^-1approx2,71828+0,36788=3,08616 :
l|f(0,5)-P3(0,5)r| approx|3,08616-3,0897|approx0,00354
Já tínhamos , então

Resposta

Estimativa de erro: .
Erro efetivo: .

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