Interpole a função por um polinômio de grau menor ou igual a 3 nos pontos e . Estime o erro cometido na determinação da . Em seguida, compare a estimativa com o erro efetivamente cometido.
Passo 1
Beleza, o problema pede para a gente aproximar a função
por um polinômio de grau até 3 nos pontos
e aí usar a fórmula do resto da interpolação (que envolve a derivada de ordem 4) para estimar o erro em . Depois comparar essa estimativa com o erro “real” .
Conteúdo: interpolação polinomial (forma de Lagrange), fórmula do resto e cálculo de derivadas. Vamos precisar:
calcular valores ,
usar Lagrange para achar ,
fórmula do erro:
achar um limite para no intervalo.
Passo 2
Primeiro, os nós e t0=0,;t1=0,2,;t2=0,4,;t3=0,6 neles:
Agora a estimativa de erro. A derivada de 4ª ordem de f^(4)(t)=16e^2t+16e^-2t=16,f(t) é
max[0,0.6]f^(4)(t)=16cdot3,6211approx57,94
No intervalo |R3(0,5)|<=57,944!;l|(0,5-0)(0,5-0,2)(0,5-0,4)(0,5-0,6)r| , o máximo de 0,5cdot0,3cdot0,1cdot(-0,1)=-0,0015,valor absoluto 0,0015 é em |R3(0,5)|<=57,9424cdot0,0015approx2,414cdot0,0015approx0,00362 , vale . Então
A fórmula do resto em dá
O produto é
Como ,
Passo 5
Erro “real” em f(0,5)=e^1+e^-1approx2,71828+0,36788=3,08616 :