Para o conjunto de pontos (0,1),(2,3),(4,2), utilizando o método de Newton, calcule o polinômio interpolador e calcule f(3). Plote o gráfico com os pontos, o polinômio interpolador e o ponto (3, f(3)).

Passo 1

Beleza, a questão manda interpolar os pontos (0,1), (2,3) e (4,2) usando o método de Newton, achar o polinômio interpolador e depois calcular . Em resumo, é um exercício de “Interpolação Polinomial” e a gente vai precisar montar as diferenças divididas de Newton pra chegar no polinômio e então avaliar em .

Passo 2

Antes de meter a mão na massa, lembra do método de Newton: a gente constrói o polinômio na forma
P(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+cdots
onde são as diferenças divididas. Aqui só temos 3 pontos, então vai até a diferença de segunda ordem.

Passo 3

Calcular as diferenças divididas:
Dados f[x0,x1]=f1-f0x1-x0=3-12-0=1, f[x1,x2]=2-34-2=-12 .
  1. Diferença de 1ª ordem:
f[x0,x1,x2] =f[x1,x2]-f[x0,x1]x2-x0 =-tfrac12-14-0 =-tfrac324 =-38
  1. Diferença de 2ª ordem:

Passo 4

Agora monta o polinômio de Newton com essas diferenças:
P(x) = f[x0] +f[x0,x1](x-x0) +f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)
Substituindo:
P(x) =1 + 1,(x-0) -38(x-0)(x-2) =1 + x - 38(x^2-2x)
Expandindo e juntando termos:
P(x) =-38x^2+74x+1

Passo 5

Bora achar f(3)=P(3) =-38cdot 3^2+74cdot3+1 =-38cdot9+214+1 =-278+428+88 =238 =2,875 :

Passo 6

Sobre o gráfico: você definia um vetor de valores de (tipo de a ), calculava em cada um e plottava curva, marcando ainda os pontos originais e o ponto . Em Python, por exemplo, daria pra usar Matplotlib com plt.plot e plt.scatter.

Resposta

Polinômio interpolador (forma de Newton ou simplificado):
boxedP(x)=-38x^2+74x+1,
e
boxedf(3)=P(3)=tfrac238=2,875

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