Para o conjunto de pontos
, utilizando o método de Newton, calcule o polinômio interpolador e calcule
. Plote o gráfico com os pontos, o polinômio interpolador e o ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos interpolar o polinômio que passa pelos pontos
usando o método de Newton. Isso é conteúdo de Interpolação Polinomial: a gente monta as diferenças divididas e constrói o polinômio em “forma de Newton”. Para resolver, vamos precisar:
- Calcular as diferenças divididas de 1ª, 2ª e 3ª ordem.
- Montar o polinômio de Newton.
- Avaliar em
. - Fazer um plot (vamos sugerir um código Python usando matplotlib).
Passo 2
Primeiro, montamos a tabela de diferenças divididas. Denotando
;
;
;
:
- Diferenças de 1ª ordem:
- Diferenças de 2ª ordem:
- Diferença de 3ª ordem:
Passo 3
Agora montamos o polinômio de Newton na forma:
Substituindo os valores:
Passo 4
Pra achar
, basta pôr
em
:
Passo 5
Pra plotar em Python, por exemplo, dá pra usar:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# define o polinômio N(x)
def N(x):
return (1 + 1*(x-0)
-3/8*(x-0)*(x-2)
+7/48*(x-0)*(x-2)*(x-4))
# pontos originais
xs = np.array([0,2,4,6])
ys = np.array([1,3,2,5])
# ponto interpolado em 3
x3, y3 = 3, N(3)
# gráfico
xg = np.linspace(-1,7,400)
plt.plot(xg, N(xg), label='Polinômio de Newton')
plt.scatter(xs, ys, color='red', label='Pontos originais')
plt.scatter(x3, y3, color='blue', label=f'({x3},{y3:.4f})')
plt.legend(); plt.grid(True); plt.show()
Resposta
O polinômio interpolador de Newton é
e o valor em
é