Para o conjunto de pontos (0,1),(2,3),(4,2),(6,5), utilizando o método de Newton, calcule o polinômio interpolador e calcule f(3). Plote o gráfico com os pontos, o polinômio interpolador e o ponto (3, f(3)).

Passo 1

Beleza, vamos interpolar o polinômio que passa pelos pontos usando o método de Newton. Isso é conteúdo de Interpolação Polinomial: a gente monta as diferenças divididas e constrói o polinômio em “forma de Newton”. Para resolver, vamos precisar:
  • Calcular as diferenças divididas de 1ª, 2ª e 3ª ordem.
  • Montar o polinômio de Newton.
  • Avaliar em .
  • Fazer um plot (vamos sugerir um código Python usando matplotlib).

Passo 2

Primeiro, montamos a tabela de diferenças divididas. Denotando f[x0,x1]&=f1-f0x1-x0=3-12-0=1, f[x1,x2]&=2-34-2=-tfrac12, f[x2,x3]&=5-26-4=tfrac32 ; f[x0,x1,x2] &=f[x1,x2]-f[x0,x1]x2-x0 =-tfrac12-14-0=-tfrac38, f[x1,x2,x3] &=tfrac32-(-tfrac12)6-2 =24=tfrac12 ; f[x0,x1,x2,x3] =tfrac12-(-tfrac38)6-0 =7/86=tfrac748 ; :
  1. Diferenças de 1ª ordem:
  1. Diferenças de 2ª ordem:
  1. Diferença de 3ª ordem:

Passo 3

Agora montamos o polinômio de Newton na forma:
N(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1) +f[x0,x1,x2,x3](x-x0)(x-x1)(x-x2)
Substituindo os valores:
boxed N(x) =1+1,(x-0) -tfrac38,(x-0)(x-2) +tfrac748,(x-0)(x-2)(x-4)

Passo 4

Pra achar f(3)&=1+1cdot3-tfrac38,3cdot1+tfrac748,3cdot1cdot(-1) &=4-tfrac98-tfrac2148 =4-tfrac98-tfrac716 =tfrac3916approx2,4375 , basta pôr em :

Passo 5

Pra plotar em Python, por exemplo, dá pra usar:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# define o polinômio N(x)
def N(x):
    return (1 + 1*(x-0)
            -3/8*(x-0)*(x-2)
            +7/48*(x-0)*(x-2)*(x-4))

# pontos originais
xs = np.array([0,2,4,6])
ys = np.array([1,3,2,5])

# ponto interpolado em 3
x3, y3 = 3, N(3)

# gráfico
xg = np.linspace(-1,7,400)
plt.plot(xg, N(xg), label='Polinômio de Newton')
plt.scatter(xs, ys, color='red', label='Pontos originais')
plt.scatter(x3, y3, color='blue', label=f'({x3},{y3:.4f})')
plt.legend(); plt.grid(True); plt.show()

Resposta

O polinômio interpolador de Newton é
boxedN(x)=1 + x - tfrac38,x(x-2) + tfrac748,x(x-2)(x-4),
e o valor em boxedf(3)=tfrac3916approx2,4375 é

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