Para o conjunto de pontos (2,4),(4,1), utilizando o método de Sistemas Lineares, calcule o polinômio interpolador e calcule f(1). Plote o gráfico com os pontos, o polinômio interpolador e o ponto (1, f(1)).

Passo 1

Beleza, o enunciado é o seguinte: temos dois pontos e e queremos encontrar, por meio de um sistema linear, o polinômio interpolador de grau 1 (ou seja, da forma ). Depois a gente calcula e, por fim, faz um gráfico que mostre os dois pontos, a reta do polinômio e o ponto . O conteúdo envolvido é interpolação polinomial (no caso, reta que passa por dois pontos) e resolução de sistemas lineares simples.

Passo 2

Primeiro vamos montar o sistema. Como queremos
f(x)=ax+b
e sabemos que
f(2)=4 f(4)=1 Longrightarrow 2a + b = 4 4a + b = 1
Esse é um sistema 2×2 para achar e .

Passo 3

Agora resolvemos:
Subtraindo segunda equação da primeira, dá
(2a+b)-(4a+b)=4-1 Longrightarrow -2a = 3 Longrightarrow a = -tfrac32
Em seguida, na primeira equação 2l(-tfrac32r) + b = 4 Longrightarrow -3 + b = 4 Longrightarrow b = 7 :
boxedf(x) = -tfrac32,x + 7
Portanto o polinômio interpolador é

Passo 4

Vamos calcular f(1) = -tfrac32cdot1 + 7 = -1.5 + 7 = 5.5 = tfrac112 :
Ou seja, o ponto extra é .
Para plotar, você pode usar por exemplo Python/Matplotlib:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# define reta
x = np.linspace(0,5,100)
y = -1.5*x + 7

# plota reta
plt.plot(x, y, label='f(x) = -1.5x + 7')

# plota pontos
px = [2, 4, 1]
py = [4, 1, 5.5]
plt.scatter(px, py, color='red')

# anota pontos
for xi, yi in zip(px, py):
    plt.annotate(f'({xi},{yi})', (xi, yi), textcoords="offset points", xytext=(5,-10))

plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.title('Polinômio interpolador e pontos dados')
plt.show()

Resposta

O polinômio interpolador é
boxedf(x) = -tfrac32,x + 7,
e
boxedf(1) = tfrac112

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