Para o conjunto de pontos
, utilizando o método de Sistemas Lineares, calcule o polinômio interpolador e calcule
. Plote o gráfico com os pontos, o polinômio interpolador e o ponto
.
Passo 1
Beleza, o enunciado é o seguinte: temos dois pontos
e
e queremos encontrar, por meio de um sistema linear, o polinômio interpolador de grau 1 (ou seja, da forma
). Depois a gente calcula
e, por fim, faz um gráfico que mostre os dois pontos, a reta do polinômio e o ponto
. O conteúdo envolvido é interpolação polinomial (no caso, reta que passa por dois pontos) e resolução de sistemas lineares simples.
Passo 2
Primeiro vamos montar o sistema. Como queremos
e sabemos que
Esse é um sistema 2×2 para achar
e
.
Passo 3
Agora resolvemos:
Subtraindo segunda equação da primeira, dá
Subtraindo segunda equação da primeira, dá
Em seguida, na primeira equação
:
Portanto o polinômio interpolador é
Passo 4
Vamos calcular
:
Ou seja, o ponto extra é
.
Para plotar, você pode usar por exemplo Python/Matplotlib:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# define reta
x = np.linspace(0,5,100)
y = -1.5*x + 7
# plota reta
plt.plot(x, y, label='f(x) = -1.5x + 7')
# plota pontos
px = [2, 4, 1]
py = [4, 1, 5.5]
plt.scatter(px, py, color='red')
# anota pontos
for xi, yi in zip(px, py):
plt.annotate(f'({xi},{yi})', (xi, yi), textcoords="offset points", xytext=(5,-10))
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.title('Polinômio interpolador e pontos dados')
plt.show()
Resposta
O polinômio interpolador é
e