Tomando o limite
no processo iterativo
, verificamos que a solução exata satisfaz a equação
Utilize esse resultado para provar que o erro entre duas iterações sucessivas está relacionado por:
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o exercício está dizendo e o que a gente precisa usar.
Enunciado resumido: temos um processo iterativo
Enunciado resumido: temos um processo iterativo
e, no limite
, a iteração converge pra solução exata
que satisfaz
Queremos provar que o erro na iteração, definido por
obedece a relação
Conteúdo: Método de ponto-fixo (fix-point), propagação de erro e álgebra básica de matrizes. Vamos precisar só de definições e umas subtrações espertonas.
Passo 2
Primeiro, escrevemos o erro da iteração
:
Mas a gente sabe que
. Então
Passo 3
Agora, é só usar a equação do ponto-fixo
. Ou seja,
As constantes
se cancelam:
E
é justamente
.