Tomando o limite k infty no processo iterativo x^k+1=M x^k+c, verificamos que a solução exata satisfaz a equação
x=M x+c
Utilize esse resultado para provar que o erro entre duas iterações sucessivas está relacionado por:
e^k+1=M e^k
onde e^k=x-x^k.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício está dizendo e o que a gente precisa usar.
Enunciado resumido: temos um processo iterativo
x^k+1 ;=; M,x^k + c
e, no limite x = M,x + c , a iteração converge pra solução exata e^k = x - x^k, que satisfaz
e^k+1 = M,e^k
Queremos provar que o erro na iteração, definido por
obedece a relação
Conteúdo: Método de ponto-fixo (fix-point), propagação de erro e álgebra básica de matrizes. Vamos precisar só de definições e umas subtrações espertonas.

Passo 2

Primeiro, escrevemos o erro da iteração e^k+1 ;=; x ;-; x^k+1 :
e^k+1 = x ;-; l(M,x^k + cr)
Mas a gente sabe que . Então

Passo 3

Agora, é só usar a equação do ponto-fixo x = M,x + c Longrightarrow x - l(M,x^k + cr) = l(M,x + cr) - l(M,x^k + cr) . Ou seja,
e^k+1 = M,x - M,x^k = M,(x - x^k)
As constantes se cancelam:
E é justamente .

Resposta

boxede^k+1 ;=; M,e^k

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