Utilizando o método da bisseção, encontre uma raiz da função f(x)=x log x-1, com um erro varepsilon <= 0,002. (dados: xi in[2 ; 3] )

Passo 1

Beleza, o problema pede pra gente achar uma raiz da função
|r - mn|<=b-a2^n<=varepsilon
no intervalo , usando o método da bisseção até ter erro .
Conteúdo: Método da bisseção (baseado no Teorema do Valor Intermediário) e fórmula de cota de erro.
O que vamos precisar:
  • Saber que, se e têm sinais opostos, existe raiz em .
  • A cada passo, calcular o ponto médio , avaliar e escolher o subintervalo onde o sinal muda.
  • A cota de erro:

Passo 2

Primeiro, confirmamos que há mudança de sinal em .
Aqui usamos base 10 (senão insatisfatório em natural).
  • .
  • .
    Logo, existe raiz em .

Passo 3

Vamos achar quantas iterações 12^n<=0,002 Longrightarrow 2^n>=10,002=500 Longrightarrow n>=log2(500)approx8,97 precisamos para .
A gente toma iterações.

Passo 4

a =2, b =3
m =
.
Sinal de é negativo, de é positivo → novo intervalo .

Passo 5

a =2,5, b =3
m =
.
→ raiz em .

Passo 6

a =2,5, b =2,75
m =2,625
.
→ raiz em .

Passo 7

a =2,5, b =2,625
m =2,5625
.
→ raiz em .

Passo 8

a =2,5, b =2,5625
m =2,53125
.
→ raiz em .

Passo 9

a =2,5, b =2,53125
m =2,515625
.
→ raiz em .

Passo 10

a =2,5, b =2,515625
m =2,5078125
.
→ raiz em .

Passo 11

a =2,5, b =2,5078125
m =2,50390625
.
→ raiz em .

Passo 12

a =2,50390625, b =2,5078125
m =2,505859375
.
Agora o intervalo tem largura , beleza!

Resposta

Uma aproximação da raiz é
xapprox m9 = 2,505859375,
com erro garantido .

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