Entre os conjuntos listados a seguir, apenas em um caso H é subgrupo do grupo G. Identifique qual é o subconjunto H que é subgrupo de G e justifique o por quê esse caso é valido e o por quê os demais não são.
a) H=[0,2]=x in R mid 0 <= x <= 2, G=R com operação de adição usual.
b) H=R-Q= números irracionais, G=R com operação de adição usual.
c) H=e^n mid n in Z, G=R^* com operação de multiplicação usual, e=2,71828 cdots.
d) H=R-Q= números irracionais, G=R^* com operação de multiplicação usual.

Passo 1

O enunciado apresenta quatro pares (G,H) e pede para identificar em qual deles H é subgrupo de G. O conteúdo é teoria de grupos e subgrupos: usamos o critério que um subconjunto H de um grupo G é subgrupo se e somente se
  1. H contém a identidade de G,
  2. é fechado na operação de G,
  3. todo elemento de H tem seu inverso em H.

Passo 2

Caso (a): G=(R,+) e H=[0,2].
– A identidade de (R,+) é 0in H, ok.
– Mas para xin H temos -x não necessariamente em H: por exemplo x=1 -1notin[0,2]. Portanto H falha na condição de inversos, logo não é subgrupo.

Passo 3

Caso (b): G=(R,+) e H=RsetminusQ (irracionais).
– A identidade de (R,+) é 0, mas 0 é racional, logo 0notin H. Falha já na identidade, então não é subgrupo.

Passo 4

Caso (c): G=(R^*,cdot) e H=e^nmid ninZ.
– A identidade de (R^*,cdot) é 1=e^0, e 0inZ, logo 1in H.
– Fechamento: para e^n,e^min H temos
e^ncdot e^m=e^n+m,
e n+minZ, então e^n+min H.
– Inversos: o inverso de e^n é
(e^n)^-1=e^-n,
e -ninZ, então (e^n)^-1in H.
Como satisfaz identidade, fechamento e inversos, H é subgrupo de G.

Passo 5

Caso (d): G=(R^*,cdot) e H=RsetminusQ.
– A identidade é 1, mas 1 é racional, então 1notin H. Além disso, o produto de irracionais pode dar racional (por exemplo raiz2cdotraiz2=2). Logo não há identidade nem fechamento, e H não é subgrupo.

Resposta

O único subconjunto H que é subgrupo de G é o do item (c).

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