Entre os conjuntos listados a seguir, apenas em um caso
é subgrupo do grupo
. Identifique qual é o subconjunto
que é subgrupo de
e justifique o por quê esse caso é valido e o por quê os demais não são.
a)
com operação de adição usual.
b)
números irracionais,
com operação de adição usual.
c)
com operação de multiplicação usual,
.
d)
números irracionais,
com operação de multiplicação usual.
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado apresenta quatro pares
e pede para identificar em qual deles
é subgrupo de
. O conteúdo é teoria de grupos e subgrupos: usamos o critério que um subconjunto
de um grupo
é subgrupo se e somente se
-
contém a identidade de , -
é fechado na operação de , -
todo elemento de tem seu inverso em .
Passo 2
Caso (a):
e
.
– A identidade de é
, ok.
– Mas para temos
não necessariamente em
: por exemplo
dá
. Portanto
falha na condição de inversos, logo não é subgrupo.
– A identidade de
– Mas para
Passo 3
Caso (b):
e
(irracionais).
– A identidade de é
, mas
é racional, logo
. Falha já na identidade, então não é subgrupo.
– A identidade de
Passo 4
Caso (c):
e
.
– A identidade de é
, e
, logo
.
– Fechamento: para temos
– A identidade de
– Fechamento: para
e
, então
.
– Inversos: o inverso de é
– Inversos: o inverso de
e
, então
.
Como satisfaz identidade, fechamento e inversos, é subgrupo de
.
Como satisfaz identidade, fechamento e inversos,
Passo 5
Caso (d):
e
.
– A identidade é , mas
é racional, então
. Além disso, o produto de irracionais pode dar racional (por exemplo
). Logo não há identidade nem fechamento, e
não é subgrupo.
– A identidade é
Resposta
O único subconjunto
que é subgrupo de
é o do item (c).