Descreva o conceito de:
Um Isomorfismo de Grupos.

Passo 1

O enunciado pede que a gente descreva o conceito de isomorfismo de grupos. Isso faz parte da teoria de grupos, onde queremos identificar quando dois grupos são “igualzinhos” em termos de estrutura algébrica, ainda que seus elementos e notações sejam diferentes. Para isso vamos lembrar primeiro o que é um homomorfismo de grupos e depois exigir bijetividade.

Passo 2

Um homomorfismo de grupos é uma função entre dois grupos que preserva a operação. Ou seja, se (G,ast) e (H,circ) são grupos, uma função
fcolon G to H
é homomorfismo se, para todos x,yin G,
f(xast y) ;=; f(x),circ,f(y)

Passo 3

Para que esse homomorfismo seja um isomorfismo, é preciso ainda que f seja bijetiva. Em outras palavras:
Injetividade: Se f(x1)=f(x2) então x1=x2.
Sobretividade: Para todo hin H existe gin G tal que f(g)=h.
Quando essas duas condições se juntam, f é bijetiva.

Passo 4

Dessa forma, um isomorfismo de grupos é exatamente um homomorfismo bijetivo. Como consequência imediata de ser homomorfismo, ele leva identidade em G à identidade em H e leva inversos em G a inversos em H:
f(eG)=eH, fl(g^-1r)=l(f(g)r)^-1

Passo 5

Quando existe um isomorfismo fcolon Gto H, dizemos que G e H são isomorfos e escrevemos Gcong H. Isso significa que, apesar de talvez parecerem diferentes, eles têm exatamente a mesma “forma” algébrica: todas as propriedades de grupo em G passam para H via f, e vice-versa pela inversa de f.

Resposta

Um isomorfismo de grupos é um homomorfismo bijetivo
fcolon (G,ast)to(H,circ)
que satisfaz
f(xast y)=f(x)circ f(y)
para todos x,yin G, sendo injetivo e sobrejetivo.

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