Descreva o conceito de:
Um Isomorfismo de Grupos.
Um Isomorfismo de Grupos.
Passo 1
O enunciado pede que a gente descreva o conceito de isomorfismo de grupos. Isso faz parte da teoria de grupos, onde queremos identificar quando dois grupos são “igualzinhos” em termos de estrutura algébrica, ainda que seus elementos e notações sejam diferentes. Para isso vamos lembrar primeiro o que é um homomorfismo de grupos e depois exigir bijetividade.
Passo 2
Um homomorfismo de grupos é uma função entre dois grupos que preserva a operação. Ou seja, se
e
são grupos, uma função
é homomorfismo se, para todos
,
Passo 3
Para que esse homomorfismo seja um isomorfismo, é preciso ainda que
seja bijetiva. Em outras palavras:
Injetividade: Se
então
.
Sobretividade: Para todo existe
tal que
.
Sobretividade: Para todo
Quando essas duas condições se juntam,
é bijetiva.
Passo 4
Dessa forma, um isomorfismo de grupos é exatamente um homomorfismo bijetivo. Como consequência imediata de ser homomorfismo, ele leva identidade em
à identidade em
e leva inversos em
a inversos em
:
Passo 5
Quando existe um isomorfismo
, dizemos que
e
são isomorfos e escrevemos
. Isso significa que, apesar de talvez parecerem diferentes, eles têm exatamente a mesma “forma” algébrica: todas as propriedades de grupo em
passam para
via
, e vice-versa pela inversa de
.
Resposta
Um isomorfismo de grupos é um homomorfismo bijetivo
que satisfaz
para todos
, sendo injetivo e sobrejetivo.