Mostre que (
) é um grupo, onde
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
munido da operação
é um grupo. Lembrando que, para ser grupo, devemos verificar quatro propriedades:
- Fechamento
- Associatividade
- Existência de elemento neutro
- Existência de inversos
Passo 2
Fechamento e associatividade:
- Fechamento: se
, então . Logo está fechado. - Associatividade: para quaisquer
calculamos
e
Como os dois resultados coincidem, a operação é associativa.
Passo 3
Elemento neutro: buscamos
tal que para todo
Da definição,
Verificando a mão direita,
Portanto o neutro é
.
Passo 4
Inversos: para cada
queremos
tal que
E de fato
Logo o inverso de
é
.
Resposta
O conjunto
com a operação
é um grupo. O elemento neutro é
e, para cada
, o inverso é
.