Mostre que ( R, * ) é um grupo, onde x * y=x+y-9.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto R munido da operação
x * y = x + y - 9
é um grupo. Lembrando que, para ser grupo, devemos verificar quatro propriedades:
  1. Fechamento
  2. Associatividade
  3. Existência de elemento neutro
  4. Existência de inversos

Passo 2

Fechamento e associatividade:
  • Fechamento: se x,yinR, então x+y-9inR. Logo está fechado.
  • Associatividade: para quaisquer x,y,zinR calculamos
(x*y)*z = (,x+y-9,)*z = (x+y-9) + z - 9 = x + y + z - 18
e
x*(y*z) = x*(,y+z-9,) = x + (y+z-9) - 9 = x + y + z - 18
Como os dois resultados coincidem, a operação é associativa.

Passo 3

Elemento neutro: buscamos einR tal que para todo xinR
e * x = x e x * e = x
Da definição,
e * x = e + x - 9 = x ;Longrightarrow; e = 9
Verificando a mão direita,
x * 9 = x + 9 - 9 = x
Portanto o neutro é e=9.

Passo 4

Inversos: para cada xinR queremos yinR tal que
x * y = 9 Longrightarrow x + y - 9 = 9 Longrightarrow y = 18 - x
E de fato
y * x = (18 - x) + x - 9 = 9
Logo o inverso de x é x^-1 = 18 - x.

Resposta

O conjunto R com a operação x*y = x+y-9 é um grupo. O elemento neutro é 9 e, para cada x, o inverso é 18 - x.

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