Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subgrupos do grupo indicado.
Passo 1
O enunciado dá o grupo G=(R^*,cdot) e o subconjunto
B=l1+2m1+2n,m|,m,ninZr
Ou seja, cada elemento de B é um quociente de dois inteiros ímpares. Para mostrar que B é subgrupo de G, usamos o critério de subgrupo: verificar que 1in B, que B é fechado sob produto e que todo elemento de B tem inverso em B.
Passo 2
Verificamos se a identidade de G, que é 1, pertence a B. Tomando m=0 e n=0 vemos
1+2cdot01+2cdot0=11=1,
logo 1in B.
Passo 3
Mostramos a fechadura de B sob multiplicação. Seja a=1+2m1+2n e b=1+2p1+2q com m,n,p,qinZ. Então
acdot b =1+2m1+2n,cdot,1+2p1+2q =(1+2m)(1+2p)(1+2n)(1+2q)
Como produto de dois ímpares é ímpar, existem inteiros r,s tais que (1+2m)(1+2p)=1+2r e (1+2n)(1+2q)=1+2s. Logo
acdot b=1+2r1+2sin B,
portanto B é fechado.
Passo 4
Mostramos que inversos de elementos de B também estão em B. Seja a=1+2m1+2nin B. Então
a^-1=1+2n1+2m
Como 1+2n e 1+2m são ímpares, a^-1 tem a forma 1+2n'1+2m' com n'=m e m'=n. Logo a^-1in B.