1. Indique qual é o valor máximo de
f(x)=\arctan \left(\frac{(\sqrt{12}-2) \cdot x^{2}}{x^{4}+2 x^{2}+3}\right)
A) 18^{\circ}
B) 36^{\circ}
C) 22,5^{\circ}
D) 15^{\circ}

Passo 1

O enunciado pede o valor máximo da função
f(x)=\arctan\!\left(\frac{(\sqrt{12}-2)\cdot x^{2}}{x^{4}+2x^{2}+3}\right).
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função está definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • Precisa-se encontrar o valor máximo de f(x) (ou seja, o maior valor que f assume quando x varia por todos os reais).
  • As opções propostas são \,18^\circ,\,36^\circ,\,22{,}5^\circ,\,15^\circ.

Passo 2

Observação útil: a função \arctan é estritamente crescente em toda sua reta de definição. Isso significa que, para maximizar f(x)=\arctan\big(h(x)\big), basta maximizar a função interna
h(x)=\frac{(\sqrt{12}-2)\cdot x^{2}}{x^{4}+2x^{2}+3}.
Ou seja, f atinge seu máximo exatamente quando h atinge seu máximo.

Passo 3

Note que h(x) depende apenas de x^{2}. Então h é função par e é suficiente estudar h para x\ge0. Para simplificar, faça a substituição
t=x^{2},\qquad t\ge0.
Defina
g(t)=\frac{(\sqrt{12}-2)\,t}{t^{2}+2t+3}.
Maximizar h(x) em x\in\mathbb{R} equivale a maximizar g(t) em t\in[0,\infty).

Passo 4

Antes de derivar, simplifico um pouco a constante:
\sqrt{12}=2\sqrt{3}\quad\Rightarrow\quad \sqrt{12}-2=2\sqrt{3}-2=2(\sqrt{3}-1).
Mas vou manter a forma simbólica k=\sqrt{12}-2 e substituir quando necessário.
Escrevo g(t) explicitamente:
g(t)=\frac{k\,t}{t^{2}+2t+3}.

Passo 5

Calculo a derivada de g para encontrar extremos. Usando a regra do quociente,
g'(t)=k\cdot\frac{(1)(t^{2}+2t+3)-t(2t+2)}{(t^{2}+2t+3)^{2}}.
Simplificando o numerador:
(t^{2}+2t+3)-t(2t+2)=t^{2}+2t+3-2t^{2}-2t=3-t^{2}.
Portanto
g'(t)=k\cdot\frac{3-t^{2}}{(t^{2}+2t+3)^{2}}.

Passo 6

Análise dos zeros de g'(t):
  • O denominador nunca é zero (é soma de quadrados positivos), então o sinal de g'(t) é dado por k(3-t^{2}).
  • Como k=\sqrt{12}-2>0, o sinal de g'(t) coincide com 3-t^{2}.
  • Logo g'(t)=0 ocorre quando 3-t^{2}=0, ou seja em t=\sqrt{3} (lembrando t\ge0).
  • Para 0\le t<\sqrt{3}, tem-se g'(t)>0 (função crescente); para t>\sqrt{3}, g'(t)<0 (função decrescente). Portanto t=\sqrt{3} é um máximo absoluto em [0,\infty).
Também verificar extremos na fronteira t=0 e comportamento quando t\to\infty:
  • g(0)=0.
  • \lim_{t\to\infty}g(t)=0 (grau numerador menor que denominador).
    Logo o máximo ocorre em t=\sqrt{3}.

Passo 7

Calculo do valor máximo g_{\max}=g(\sqrt{3}). Substituo t=\sqrt{3} em g(t):
g(\sqrt{3})=\frac{(\sqrt{12}-2)\,\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^{2}+2\sqrt{3}+3}.
Compute componentes passo a passo:
(\sqrt{3})^{2}=3,
portanto o denominador é
3+2\sqrt{3}+3=6+2\sqrt{3}=2(3+\sqrt{3}).
O numerador é
(\sqrt{12}-2)\sqrt{3}=(2\sqrt{3}-2)\sqrt{3}=2\cdot3-2\sqrt{3}=6-2\sqrt{3}=2(3-\sqrt{3}).
Assim
g(\sqrt{3})=\frac{2(3-\sqrt{3})}{2(3+\sqrt{3})}=\frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}.

Passo 8

Simplifico \dfrac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}. Multiplico numerador e denominador por 3-\sqrt{3}:
\frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}=\frac{(3-\sqrt{3})^{2}}{(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})}=\frac{9-6\sqrt{3}+3}{9-3}=\frac{12-6\sqrt{3}}{6}=2-\sqrt{3}.
Portanto
g_{\max}=2-\sqrt{3}.

Passo 9

Voltando para f, temos o valor máximo
f_{\max}=\arctan\!\big(g_{\max}\big)=\arctan\!\big(2-\sqrt{3}\big).
Reconhecemos uma identidade trigonométrica clássica: \tan(15^\circ)=2-\sqrt{3}. Uma demonstração curta usando fórmula da tangente da diferença:
\tan(15^\circ)=\tan(45^\circ-30^\circ)=\frac{\tan45^\circ-\tan30^\circ}{1+\tan45^\circ\tan30^\circ} =\frac{1-\tfrac{1}{\sqrt{3}}}{1+1\cdot\tfrac{1}{\sqrt{3}}} =\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1},
e multiplicando numerador e denominador por \sqrt{3}-1 obtém-se 2-\sqrt{3}. Logo
\arctan\!\big(2-\sqrt{3}\big)=15^\circ.

Passo 10

Conclusão: o valor máximo de f(x) é \,15^\circ, que corresponde à alternativa D).

Resposta

D) 15^\circ

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