- Indique qual é o valor máximo de
A)
B)
C)
D)
B)
C)
D)
Passo 1
O enunciado pede o valor máximo da função
Informações dadas e o que é pedido:
- A função está definida para todo
. - Precisa-se encontrar o valor máximo de
(ou seja, o maior valor que assume quando varia por todos os reais). - As opções propostas são
.
Passo 2
Observação útil: a função
é estritamente crescente em toda sua reta de definição. Isso significa que, para maximizar
, basta maximizar a função interna
Ou seja,
atinge seu máximo exatamente quando
atinge seu máximo.
Passo 3
Note que
depende apenas de
. Então
é função par e é suficiente estudar
para
. Para simplificar, faça a substituição
Defina
Maximizar
em
equivale a maximizar
em
.
Passo 4
Antes de derivar, simplifico um pouco a constante:
Mas vou manter a forma simbólica
e substituir quando necessário.
Escrevo
explicitamente:
Passo 5
Calculo a derivada de
para encontrar extremos. Usando a regra do quociente,
Simplificando o numerador:
Portanto
Passo 6
Análise dos zeros de
:
- O denominador nunca é zero (é soma de quadrados positivos), então o sinal de
é dado por . - Como
, o sinal de coincide com . - Logo
ocorre quando , ou seja em (lembrando ). - Para
, tem-se (função crescente); para , (função decrescente). Portanto é um máximo absoluto em .
Também verificar extremos na fronteira
e comportamento quando
:
-
. -
(grau numerador menor que denominador).
Logo o máximo ocorre em.
Passo 7
Calculo do valor máximo
. Substituo
em
:
Compute componentes passo a passo:
portanto o denominador é
O numerador é
Assim
Passo 8
Simplifico
. Multiplico numerador e denominador por
:
Portanto
Passo 9
Voltando para
, temos o valor máximo
Reconhecemos uma identidade trigonométrica clássica:
. Uma demonstração curta usando fórmula da tangente da diferença:
e multiplicando numerador e denominador por
obtém-se
. Logo
Passo 10
Conclusão: o valor máximo de
é
, que corresponde à alternativa D).
Resposta
D)