Considerando o campo escalar psi(r, theta, phi)=r^2 sin theta cos phi em coordenadas esféricas, analise: A implicação física de nabla^2 psi em regiões onde psi é máxima.

Passo 1

Beleza, então o problema diz o seguinte: temos um campo escalar em coordenadas esféricas
, e a gente precisa analisar a “implicação física” de
justamente nas regiões onde atinge seu valor máximo.
Conteúdo: operador laplaciano em coordenadas esféricas e interpretação física (tipo Poisson/Fontes e sumidouros).
O que vamos precisar:
  • A expressão do laplaciano em coordenadas esféricas.
  • Calcular passo a passo.
  • Identificar onde é máximo.
  • Usar a relação física (por exemplo, em eletrostática ) para dizer o que significa sinal de .

Passo 2

Primeiro, o laplaciano em esféricas é
nabla^2psi =1r^2partialpartial r!l(r^2partialpsipartial rr) +1r^2sinthetapartialpartialtheta!l(sinthetapartialpsipartialthetar) +1r^2sin^2thetapartial^2psipartialphi^2
Agora vamos calcular cada pedaço com r^2partialpsipartial r =2r^3sinthetacosphi, partialpartial rl(2r^3sinthetacosphir) =6r^2sinthetacosphi .
a) Derivada radial
1r^2partialpartial rl(r^2psirr) =6sinthetacosphi .
Então
partialpartialthetal(r^2sinthetacosthetacosphir) =r^2(cos^2theta-sin^2theta)cosphi =r^2cos(2theta)cosphi
Dividindo por 1r^2sinthetapartialpartialtheta(sintheta,psitheta) =cos(2theta)sinthetacosphi
1r^2sin^2thetapsiphiphi =-cosphisintheta
b) Derivada em nabla^2psi =6sinthetacosphi +cos(2theta)sinthetacosphi -cosphisintheta
cos(2theta)-1sinthetacosphi =-2sinthetacosphi, .
6sinthetacosphi-2sinthetacosphi =4sinthetacosphi .
Derivando em boxednabla^2psi=4sinthetacosphi :
Dividindo por
c) Derivada em
,
.
Logo
Somando tudo:
Repare que , então
e
Portanto

Passo 3

Agora a gente vê onde é máximo.
cresce com , então, pra um fixo ou dentro de uma região, o máximo em rola quando
é máximo ( ) e é máximo ( ).
Nesse ponto e .

Passo 4

Aí avaliamos o laplaciano bem ali:
nabla^2psil|theta=pi/2,;phi=0 =4cdot1cdot1 =4>0
Física: em física de campos, costuma indicar densidade de fonte (ou sumidouro).
Por exemplo, se fosse um potencial elétrico , a equação de Poisson diz
.
Aqui, significa que existe uma “fonte” positiva de – ou, em termos de potencial elétrico, uma carga negativa (porque o sinal fica invertido em Poisson).

Resposta

Nos pontos de máximo de ( dado, ), temos . Isso indica a presença de uma fonte local de campo ali (em eletrostática, corresponderia a uma densidade de carga negativa).

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