Considerando o campo escalar em coordenadas esféricas, analise: A implicação física de em regiões onde é máxima.
Passo 1
Beleza, então o problema diz o seguinte: temos um campo escalar em coordenadas esféricas , e a gente precisa analisar a “implicação física” de justamente nas regiões onde atinge seu valor máximo.
Conteúdo: operador laplaciano em coordenadas esféricas e interpretação física (tipo Poisson/Fontes e sumidouros).
O que vamos precisar:
A expressão do laplaciano em coordenadas esféricas.
Calcular passo a passo.
Identificar onde é máximo.
Usar a relação física (por exemplo, em eletrostática ) para dizer o que significa sinal de .
Passo 2
Primeiro, o laplaciano em esféricas é
Agora vamos calcular cada pedaço com .
a) Derivada radial .
Então
Dividindo por dá
b) Derivada em . .
Derivando em :
Dividindo por dá
c) Derivada em , .
Logo
Somando tudo:
Repare que , então
e
Portanto
Passo 3
Agora a gente vê onde é máximo. cresce com , então, pra um fixo ou dentro de uma região, o máximo em rola quando é máximo () e é máximo ().
Nesse ponto e .
Passo 4
Aí avaliamos o laplaciano bem ali:
Física: em física de campos, costuma indicar densidade de fonte (ou sumidouro).
Por exemplo, se fosse um potencial elétrico , a equação de Poisson diz .
Aqui, significa que existe uma “fonte” positiva de – ou, em termos de potencial elétrico, uma carga negativa (porque o sinal fica invertido em Poisson).
Resposta
Nos pontos de máximo de ( dado, ), temos . Isso indica a presença de uma fonte local de campo ali (em eletrostática, corresponderia a uma densidade de carga negativa).