Determine o domínio, a imagem e obtenha a função inversa das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, então o exercício é sobre a função racional
O que a gente precisa fazer é:
- Determinar o domínio (quais
tão liberados), - A imagem ou “range” (quais valores
essa função pode assumir), - A função inversa
.
O conteúdo aqui é de funções racionais, domínio/imagem e inversão de funções (trocare e resolver).
Passo 2
Primeiro, o domínio.
Domínio é o conjunto de em que a função não dá “pau” (não fica indefinida).
Como tem um denominador
, ele não pode ser zero:
Domínio é o conjunto de
Como
Então o domínio é todos os reais, menos
.
Passo 3
Agora, a imagem (todos os valores que
pode “entregar”).
A gente coloca e tenta ver quais
são possíveis.
A gente coloca
- Escreve
. - Distribui:
. - Junta os termos com
: . - Fatora
: . - Resolve pra
:
Essa “inversão” só faz sentido se o novo denominador não for zero, ou seja
. Então
.
Além disso, não aparece nenhum outro bloqueio, então a imagem é todos os reais, menos .
Além disso, não aparece nenhum outro bloqueio, então a imagem é todos os reais, menos
Passo 4
Pra achar a inversa
, a gente já meio que fez isso no passo anterior: trocamos
por
na fórmula
.
Agora é só rebatizar como
:
Agora é só rebatizar
Repare que deu a MESMA forma de
, mas o domínio da inversa também exclui
, e a imagem desta inversa exclui
.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Função inversa:
Imagem:
Função inversa: