Determine o domínio, a imagem e obtenha a função inversa das seguintes funções:
f(x)=x+1x-1

Passo 1

Beleza, então o exercício é sobre a função racional
f(x)=x+1x-1
O que a gente precisa fazer é:
  1. Determinar o domínio (quais tão liberados),
  2. A imagem ou “range” (quais valores essa função pode assumir),
  3. A função inversa .
    O conteúdo aqui é de funções racionais, domínio/imagem e inversão de funções (trocar e e resolver).

Passo 2

Primeiro, o domínio.
Domínio é o conjunto de x-1 neq 0 Longrightarrow x neq 1 em que a função não dá “pau” (não fica indefinida).
Como tem um denominador , ele não pode ser zero:
Então o domínio é todos os reais, menos .

Passo 3

Agora, a imagem (todos os valores que x = y+1y-1 pode “entregar”).
A gente coloca e tenta ver quais são possíveis.
  1. Escreve .
  2. Distribui: .
  3. Junta os termos com : .
  4. Fatora : .
  5. Resolve pra :
Essa “inversão” só faz sentido se o novo denominador não for zero, ou seja . Então .
Além disso, não aparece nenhum outro bloqueio, então a imagem é todos os reais, menos .

Passo 4

Pra achar a inversa f^-1(x) ;=;x+1x-1 , a gente já meio que fez isso no passo anterior: trocamos por na fórmula .
Agora é só rebatizar como :
Repare que deu a MESMA forma de , mas o domínio da inversa também exclui , e a imagem desta inversa exclui .

Resposta

Domínio:
Imagem:
Função inversa:

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