Sobre a robustez e convergência dos métodos numéricos para resolver uma equação
, é falso afirmar que:
O método de Newton-Raphson sempre converge.
O método de Newton-Raphson sempre converge.
Passo 1
Beleza, o enunciado tá dizendo que, “sobre robustez e convergência de métodos numéricos pra resolver
”, a afirmação falsa é “o método de Newton-Raphson SEMPRE converge”.
Conteúdo: método de Newton-Raphson (iterações para achar raiz), e conceitos de convergência local vs. global.
O que precisamos:
Conteúdo: método de Newton-Raphson (iterações para achar raiz), e conceitos de convergência local vs. global.
O que precisamos:
- Entender como o Newton itera (
). - Saber sob quais condições ele converge.
- Mostrar um exemplo onde ele NÃO converge, provando que a afirmação é falsa.
Passo 2
Vamos lembrar rapidinho do método de Newton-Raphson e por que ele normalmente converge só “perto” da raiz.
- Definição da iteração:
- Teoria de convergência local:
- Se
e são contínuas num intervalo em volta de uma raiz . - E se
. - Então há um “vizinhança” de
tal que, começando com dentro dela, a sequência converge rapidamente (quadraticamente) para .
- Se
- Mas globalmente (ou seja, pra todo
qualquer) não há garantia: - Se você escolher um
bem longe ou onde seja zero/infinito, o método pode divergir ou entrar num ciclo.
- Se você escolher um
Passo 3
Agora um exemplo prático de falha. Considere
que tem raiz óbvia em
.
- Derivada:
que explode (vai pra infinito) quando . - Iteração de Newton:
Ou seja, se eu começar com, digamos,
, vem
A distância a
dobra a cada passo e ainda troca de sinal: o método dá um looping e diverge, jamais se aproxima de
.
Isso mostra na prática que Newton-Raphson não converge sempre, depende do , da
e do chute inicial.
Isso mostra na prática que Newton-Raphson não converge sempre, depende do
Resposta
A afirmação é falsa: o método de Newton-Raphson não converge sempre; ele só garante convergência rápida localmente sob condições de suavidade e bom chute inicial.