Sobre a robustez e convergência dos métodos numéricos para resolver uma equação f(x)=0, é falso afirmar que:
O método de Newton-Raphson sempre converge.

Passo 1

Beleza, o enunciado tá dizendo que, “sobre robustez e convergência de métodos numéricos pra resolver ”, a afirmação falsa é “o método de Newton-Raphson SEMPRE converge”.
Conteúdo: método de Newton-Raphson (iterações para achar raiz), e conceitos de convergência local vs. global.
O que precisamos:
  • Entender como o Newton itera ( ).
  • Saber sob quais condições ele converge.
  • Mostrar um exemplo onde ele NÃO converge, provando que a afirmação é falsa.

Passo 2

Vamos lembrar rapidinho do método de Newton-Raphson e por que ele normalmente converge só “perto” da raiz.
  1. Definição da iteração: xn+1 ;=; xn ;-;f(xn)f'(xn)
  2. Teoria de convergência local:
    • Se e são contínuas num intervalo em volta de uma raiz .
    • E se .
    • Então há um “vizinhança” de tal que, começando com dentro dela, a sequência converge rapidamente (quadraticamente) para .
  3. Mas globalmente (ou seja, pra todo qualquer) não há garantia:
    • Se você escolher um bem longe ou onde seja zero/infinito, o método pode divergir ou entrar num ciclo.

Passo 3

Agora um exemplo prático de falha. Considere
f(x) = raiz[3]x ;=; x^1/3,
que tem raiz óbvia em f'(x) = tfrac13,x^-2/3, .
  • Derivada: xn+1 = xn ;-;xn^1/3tfrac13xn^-2/3 = xn - 3,xn = -2,xn que explode (vai pra infinito) quando x1 = -2cdot0.1 = -0.2, x2 = -2cdot(-0.2)=0.4, x3 = -2cdot0.4=-0.8,;dots .
  • Iteração de Newton:
Ou seja, se eu começar com, digamos, , vem
A distância a dobra a cada passo e ainda troca de sinal: o método dá um looping e diverge, jamais se aproxima de .
Isso mostra na prática que Newton-Raphson não converge sempre, depende do , da e do chute inicial.

Resposta

A afirmação é falsa: o método de Newton-Raphson não converge sempre; ele só garante convergência rápida localmente sob condições de suavidade e bom chute inicial.

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