Considerando a divisão de dois números fracionários quaisquer, justifique porque na divisão entre eles, devemos repetir a primeira fração e multiplicar pelo inverso da segunda:

Passo 1

O enunciado pede para explicar, passo a passo, por que, ao dividir duas frações quaisquer, adotamos a regra “repete a primeira e multiplica pelo inverso da segunda”. Estamos vendo conteúdo de frações e, mais especificamente, divisão de frações. Para resolver, vamos usar o conceito de divisão como multiplicação pelo inverso, o que envolve entender o inverso multiplicativo e a multiplicação de frações.

Passo 2

Antes de mais nada, lembra do que é divisão em geral? Quando você faz y times y^-1 = 1, está buscando um número que, multiplicado por x div y = x times y^-1, dá . Ou seja, se , então .
O “inverso multiplicativo” de um número é o número que, multiplicado por , resulta em 1. Chamamos esse inverso de . Logo,
E a definição fundamental é:
Isso vale para qualquer número (exceto zero).

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso a frações. Suponha que você queira dividir
ab div cd
Pela definição acima, isso é igual a
ab times l(cdr)^-1
Então só falta achar o inverso da fração cd times dc = c cdot dd cdot c = cdcd = 1. Por definição, o inverso de l(cdr)^-1 = dc é a fração que, multiplicada por ab div cd = ab times dc, dá 1. Essa fração é , porque
Logo,
Substituindo de volta, temos

Resposta

boxedab div cd = ab times dc

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