Determine se as seguintes sequências são convegentes ou divergentes. Caso convergente, calcule o seu limite.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente decidir se a sequência
an = n!2^n
converge ou diverge e, se converger, achar o limite. O conteúdo aqui é “limite de sequência” e, mais especificamente, como comparar o crescimento de um fatorial com o de uma potência. Vamos precisar lembrar como funciona o teste da razão (comparar com ) e também a ideia de sequência crescente e não-acotada.

Passo 2

Vamos olhar para a razão entre termos consecutivos:
an+1an = (n+1)!2^n+1n!2^n = (n+1)!2^n+1;cdot;2^nn! = n+12
Teoria rápida: se essa razão for maior que 1 (ou tender a algo maior que 1), os termos crescem, e a sequência tende a “infinito” (não tem limite finito). Aqui, sempre que , ou seja, para todo . Logo, a partir de um certo ponto, cada termo é maior que o anterior.

Passo 3

Como para temos , os crescem sem parar. E se uma sequência cresce indefinidamente sem ficar presa num valor máximo, seu limite é . Portanto, ela não converge para número finito: ela diverge para .

Resposta

A sequência é divergente e seu “limite” é .

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