Determine se as seguintes sequências são convegentes ou divergentes. Caso convergente, calcule o seu limite.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para a gente decidir se a sequência
converge ou diverge e, se converger, achar o limite. O conteúdo aqui é “limite de sequência” e, mais especificamente, como comparar o crescimento de um fatorial com o de uma potência. Vamos precisar lembrar como funciona o teste da razão (comparar
com
) e também a ideia de sequência crescente e não-acotada.
Passo 2
Vamos olhar para a razão entre termos consecutivos:
Teoria rápida: se essa razão for maior que 1 (ou tender a algo maior que 1), os termos crescem, e a sequência tende a “infinito” (não tem limite finito). Aqui,
sempre que
, ou seja, para todo
. Logo, a partir de um certo ponto, cada termo é maior que o anterior.
Passo 3
Como para
temos
, os
crescem sem parar. E se uma sequência cresce indefinidamente sem ficar presa num valor máximo, seu limite é
. Portanto, ela não converge para número finito: ela diverge para
.
Resposta
A sequência
é divergente e seu “limite” é
.