Demonstre o quadrado da soma de dois termos quaisquer, recorrendo a representação de áreas de figuras planas:

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente quer demonstrar, usando áreas de figuras planas, que
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
Conteúdo da matéria: produtos notáveis e cálculo de área de quadrados e retângulos.
O que vamos precisar:
  • Saber que a área de um quadrado de lado é .
  • Saber que a área de um retângulo de lados e é .

Passo 2

Teoria básica sobre área:
  1. Quadrado: área = lado², ou seja, se o lado mede Área do quadrado = s^2 , a área é Área do retângulo = x times y Á
  2. Retângulo: área = base × altura, então se os lados são e , Áâ

Passo 3

Agora imaginemos um quadrado maior cujo lado mede (a + b)^2 .
  • A área dele, pura e simples, é
  • Vamos dividir esse quadrado em quatro regiões internas, desenhando uma linha vertical a uma distância da esquerda e uma linha horizontal a uma distância de cima.
Isso gera:
  1. Um quadrado de lado (canto superior esquerdo).
  2. Um retângulo de lados (horizontal) e (vertical) (canto superior direito).
  3. Um retângulo de lados (horizontal) e (vertical) (canto inferior esquerdo).
  4. Um quadrado de lado (canto inferior direito).

Passo 4

Vamos calcular a área de cada pedaço e somar:
  1. Quadrado de lado a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 : área = .
  2. Retângulo de lados e : área = .
  3. Outro retângulo de lados e : área = .
  4. Quadrado de lado : área = .
Somando todas as quatro áreas, o total é

Resposta

Portanto, pela representação em áreas, concluímos que
boxed(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

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