Considerando a função f(x)=cos x, com os valores tabelados abaixo
x 0 pi6 pi4 pi3 pi2
cos x 1 0,866 0,7071 0,5 0
Tabela 1: Valores para o cos x.
Preencha a tabela 2 a seguir com os valores de cos (pi5), com precisão varepsilon<10^-4.
Calculadora
Polinômio interpolador de grau 3
Polinômio de Taylor de ordem 4
em torno de x=0.
Função Spline cúbica
Tabela 2: Valores de cos (pi5), a ser preenchido.

Passo 1

Beleza, vamos achar x = 0,;tfracpi6,;tfracpi4,;tfracpi3,;tfracpi2 usando quatro jeitos diferentes: direto na calculadora, com um polinômio interpolador de grau 3 baseado na Tabela 1, com o polinômio de Taylor (Maclaurin) de ordem 4 em torno de e com uma spline cúbica natural nos cinco pontos. A gente já tem a tabela de em
e os valores correspondentes. O que precisamos saber:
  1. Como usar a calculadora.
  2. Como montar e avaliar o polinômio de Lagrange (grau 3).
  3. A série de Taylor de .
  4. Como montar uma spline cúbica natural e avaliar no intervalo certo.

Passo 2

Método “Calculadora”
É só digitar boxed0,8090 .
Resultado (com 4 casas decimais)

Passo 3

Polinômio interpolador de grau 3 (Lagrange)
  1. Escolhemos quatro pontos vizinhos a P3(x)=sumi=0^3 yi,elli(x), elli(x)=prodjneq ix-xjxi-xj :
    P3(pi/5)approx0,8090
  2. O Lagrange diz
  1. Avaliando em e somando tudo, dá (após contas)

Passo 4

Polinômio de Taylor de ordem 4 em torno de 0
A expansão de T4(x)=1-x^22!+x^44! em potências de T4(pi/5) =1-(pi/5)^22+(pi/5)^424 approx0,8091 até a ordem é
Substituindo :

Passo 5

Spline cúbica natural
  1. Na spline natural, a segunda derivada nos extremos é zero.
  2. Montamos o sistema tri-diagonal para as cinco abscissas
    S(x) =M1(x2-x)^36h+M2(x-x1)^36h +(f1-tfracM1h^26)x2-xh +(f2-tfracM2h^26)x-x1h, ,
    resolvemos para as segundas derivadas S(pi/5)approx0,8102 .
  3. No intervalo há a fórmula
com .
4. Avaliando em

Resposta

Preenchendo a Tabela 2 com 4 casas decimais e :
Calculadora: 0,8090
Polinômio grau 3: 0,8090
Taylor ordem 4: 0,8091
Spline cúbica: 0,8102

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