Considerando a função
, com os valores tabelados abaixo
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0 |
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1 | 0,866 | 0,7071 | 0,5 | 0 |
Tabela 1: Valores para o
.
Preencha a tabela 2 a seguir com os valores de , com precisão
.
Preencha a tabela 2 a seguir com os valores de
Calculadora | |
---|---|
Polinômio interpolador de grau 3 | |
Polinômio de Taylor de ordem 4 | |
em torno de
|
|
Função Spline cúbica |
Tabela 2: Valores de
, a ser preenchido.
Passo 1
Beleza, vamos achar
usando quatro jeitos diferentes: direto na calculadora, com um polinômio interpolador de grau 3 baseado na Tabela 1, com o polinômio de Taylor (Maclaurin) de ordem 4 em torno de
e com uma spline cúbica natural nos cinco pontos. A gente já tem a tabela de
em
e os valores correspondentes. O que precisamos saber:
- Como usar a calculadora.
- Como montar e avaliar o polinômio de Lagrange (grau 3).
- A série de Taylor de
. - Como montar uma spline cúbica natural e avaliar no intervalo certo.
Passo 2
Método “Calculadora”
É só digitar .
Resultado (com 4 casas decimais)
É só digitar
Resultado (com 4 casas decimais)
Passo 3
Polinômio interpolador de grau 3 (Lagrange)
- Escolhemos quatro pontos vizinhos a
:
- O Lagrange diz
- Avaliando em
e somando tudo, dá (após contas)
Passo 4
Polinômio de Taylor de ordem 4 em torno de 0
A expansão de em potências de
até a ordem
é
A expansão de
Substituindo
:
Passo 5
Spline cúbica natural
- Na spline natural, a segunda derivada nos extremos é zero.
- Montamos o sistema tri-diagonal para as cinco abscissas
,
resolvemos para as segundas derivadas. - No intervalo
há a fórmula
com
.
4. Avaliando em dá
4. Avaliando em
Resposta
Preenchendo a Tabela 2 com 4 casas decimais e
:
Calculadora: 0,8090
Polinômio grau 3: 0,8090
Taylor ordem 4: 0,8091
Spline cúbica: 0,8102
Polinômio grau 3: 0,8090
Taylor ordem 4: 0,8091
Spline cúbica: 0,8102