Determine um intervalo
e uma função de iteração
associada, de tal forma que
, a função de iteração gere uma sequência convergente para a(s) raiz(es) de cada uma das funções abaixo, usando o método iterativo do ponto fixo
.
Passo 1
Beleza, a questão pede pra usar o método do ponto fixo na função
ou seja, a gente quer reescrever
e achar um intervalo
onde a iteração
converge pra raiz de
Para isso, vamos precisar de:
1. Ver onde
2. Isolar
3. Confirmar que
Passo 2
Primeiro, achamos um intervalo onde
muda de sinal:
- Em
:
- Em:
Logo, tem pelo menos uma raiz em
.
Passo 3
Agora isole
em
:
Então definimos a função de iteração
Passo 4
Pra garantir convergência pelo Teorema do Ponto Fixo, verificamos:
-
mapeia em si? - Se
, então
Isso fica dentro de.
2.é contrativa? Calculemos a derivada:
temos
Logo,satisfaz em . - Se
Resposta
Intervalo
e função de iteração
,
que garante convergência pelo método do ponto fixo.
que garante convergência pelo método do ponto fixo.