Determine um intervalo (a, b) e uma função de iteração varphi(x) associada, de tal forma que forall x0 in(a, b), a função de iteração gere uma sequência convergente para a(s) raiz(es) de cada uma das funções abaixo, usando o método iterativo do ponto fixo
f3(x)=e^x / 2-x^3.

Passo 1

Beleza, a questão pede pra usar o método do ponto fixo na função
f3(x)=e^x/2-x^3
ou seja, a gente quer reescrever x=varphi(x) como
xn+1=varphi(xn)
e achar um intervalo onde a iteração

converge pra raiz de .
Para isso, vamos precisar de:
1. Ver onde muda de sinal pra encontrar um intervalo com raiz.
2. Isolar em pra definir .
3. Confirmar que é contrativa nesse intervalo (ou seja, ).

Passo 2

Primeiro, achamos um intervalo onde f3(1)=e^1/2-1^3approx1,6487-1=+0,6487>0 muda de sinal:
  • Em f3(2)=e^2/2-2^3=e^1-8approx2,7183-8=-5,2817<0:
    - Em :
Logo, tem pelo menos uma raiz em .

Passo 3

Agora isole x^3=e^x/2Longrightarrow x=l(e^x/2r)^1/3=e^x/6 em varphi(x)=e^x/6:

Então definimos a função de iteração

Passo 4

Pra garantir convergência pelo Teorema do Ponto Fixo, verificamos:
  1. varphi(1)=e^1/6approx1,181evarphi(2)=e^2/6=e^1/3approx1,395 mapeia varphi'(x)=16e^x/6 em si?
    • Se 0, então
      Isso fica dentro de .
      2. é contrativa? Calculemos a derivada:
    Em temos
    Logo, satisfaz em .

Resposta

Intervalo e função de iteração
,
que garante convergência pelo método do ponto fixo.

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