Determine um intervalo (a, b) e uma função de iteração varphi(x) associada, de tal forma que forall x0 in(a, b), a função de iteração gere uma sequência convergente para a(s) raiz(es) de cada uma das funções abaixo, usando o método iterativo do ponto fixo
f4(x)=sen(x)-x^2.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente achar uma forma de reescrever
f₄(x)=sen(x)−x²
num “x=φ(x)” e definir um intervalo (a,b) em que, pra qualquer chute inicial x₀∈(a,b), o método do ponto-fixo (x_{k+1}=φ(x_k)) converge à raiz de f₄.
O conteúdo envolvido é:
  1. Teorema do ponto-fixo (contracção): se φ manda [a,b] em si mesmo e |φ′(x)|≤L<1, a iteração converge a um único ponto-fixo.
  2. Precisamos escolher φ e (a,b), verificar φ([a,b])⊆[a,b] e que |φ′(x)|<1 lá dentro.

Passo 2

Vamos reescrever f₄(x)=0 como x=φ(x). Uma escolha simples é usar
φ(x)=x−λ·f₄(x).
Se quisermos λ=−1, fica
φ(x)=x + [,sen(x)−x^2,];=;x + sin(x) - x^2
Agora temos de achar um intervalo onde φ mapeia em si mesma e é contracção.

Passo 3

Observa-se numericamente que a raiz não-nula de sen(x)=x² está em torno de x≈0.876. Faz sentido restringir a algo tipo [0.5,1].
  1. φ(0.5)=0.5+sin(0.5)−0.25≈0.5+0.4794−0.25=0.7294
  2. φ(1)=1+sin(1)−1≈1+0.84−1=0.84
    Logo φ([0.5,1])⊆[0.7294,0.84]⊂[0.5,1], ou seja, mapeia o intervalo nele mesmo.

Passo 4

Agora verificamos a derivada:
φ'(x)=1+cos(x)-2x
No intervalo [0.5,1]:
- em x=0.5: φ’(0.5)=1+0.8776−1=0.8776
- em x=1: φ’(1)=1+0.5403−2=−0.4597
Como φ’’(x)=−sin(x)−2<0, φ′ decresce, então
max[0.5,1]|φ'(x)|=max0.8776,,0.4597=0.8776<1
Isso garante que φ é contracção em [0.5,1] e, pelo Teorema do Ponto-Fixo, a iteração converge à raiz.

Resposta

(a,b) = (0.5,,1)
φ(x) = x + \sin(x) - x^2

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