Reordene o sistema linear de forma a garantirmos convergência para os métodos de Gauss-Jacobi e GaussSeidel.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente “reordenar” as equações de um sistema linear de modo que os métodos iterativos de Gauss–Jacobi e Gauss–Seidel converjam.
Conteúdo: convergência de métodos iterativos (Jacobi e Seidel) e critério de dominância diagonal.
O que precisamos:
Saber que um sistema converge nesses métodos se a matriz dos coeficientes for estritamente diagonalmente dominante, ou seja, em cada linha o valor absoluto do elemento da diagonal é maior que a soma dos absolutos dos outros coeficientes.
Testar permutações de linhas até achar uma ordem que satisfaça esse critério.
Passo 2
Teoria rápida sobre dominância diagonal:
Uma matriz A (com entradas |aii| > sumjneq i |aij| ) é estritamente diagonalmente dominante se, para todo ,
Isso garante que tanto Gauss–Jacobi quanto Gauss–Seidel vão convergir. Aqui, a gente só vai reorganizar as linhas do sistema até cada linha ficar “mais forte” no pivô (diagonal) do que na soma dos outros coeficientes.
Passo 3
Vamos testar cada linha pra ver se ela pode ficar na posição 1, 2 ou 3:
Sistema original (em forma de matriz A e vetor b):
4 & 1 & 6 4 & -1 & 2 -1& 5 & 3 123
Linha 1: vs → 4 não é maior que 7.
Linha 2: vs → 1 não é maior que 6.
Linha 3: vs → 3 não é maior que 6.
Nenhuma linha funciona onde está, então vamos permutar.
Passo 4
A ideia é colocar cada variável na linha onde seu coeficiente seja bem maior que a soma dos outros.
Para : vemos que na linha 2 o coeficiente de é 4, e . Então , ok.
Para : na linha 3 o coeficiente de é 5, e . Então , ok.
Para : sobra a linha 1, que tem coeficiente 6 em , e . Então , ok.
Portanto, a ordem ideal é (linha 2, linha 3, linha 1).
Passo 5
Escrevendo o sistema reordenado:
Linha 2 original → nova Linha 1:
4x1 ;-; x2 ;+;2x3 = 2
Linha 3 original → nova Linha 2:
-1x1 ;+;5x2 ;+;3x3 = 3
Linha 1 original → nova Linha 3:
4x1 ;+;1x2 ;+;6x3 = 1
Resposta
O sistema reordenado que garante convergência de Gauss–Jacobi e Gauss–Seidel é: