Encontre as raízes reais da função f(x)=e^x+cos (x)-5 com erro inferior a 10^-2. Use o método de sua preferência.

Passo 1

Beleza! A questão pede para a gente achar as raízes reais da função
f(x)=e^x+cos(x)-5
com erro menor que .
Isso é conteúdo de “métodos numéricos para encontrar raízes” (aqui vamos usar o método da bisseção).
O que precisamos saber:
  • Como avaliar
  • Como detectar mudança de sinal em um intervalo (se , tem raiz entre e )
  • Como dividir o intervalo ao meio até que ele fique pequeno o bastante (erro < )

Passo 2

O método da bisseção funciona assim (sem pular etapas):
  1. Você escolhe um intervalo em que e tenham sinais opostos.
  2. Calcula o ponto médio e avalia .
  3. Se , a raiz está em ; senão, está em .
  4. Repete o processo com o novo intervalo até que .
Esse critério garante que a incerteza na raiz seja menor que .

Passo 3

Vamos achar um intervalo inicial:
  • Em f(1)=e^1+cos(1)-5approx 2,718+0,540-5=-1,742(<0): f(2)=e^2+cos(2)-5approx 7,389-0,416-5=1,973(>0)
  • Em :
Como e , há raiz em .

Passo 4

Agora bisseção passo a passo (até a largura do intervalo ficar < f(1,5)approx e^1.5+cos(1.5)-5approx4,482+0,071-5=-0,447):
  1. f(1,75)approx5,753-0,178-5=0,575 f(1,625)approx5,068-0,058-5=0,010
    f(1,5625)approx4,770+0,008-5=-0,222
    Negativo ⇒ nova faixa f(1,59375)approx4,914-0,026-5=-0,112.
  2. f(1,609375)approx4,989-0,042-5=-0,053 f(1,6171875)approx5,028-0,050-5=-0,022
    f(1,62109375)approx5,048-0,054-5=-0,006
    Positivo ⇒ nova faixa .
  3. Positivo ⇒ .
  4. Negativo ⇒ .
  5. Negativo ⇒ .
  6. Negativo ⇒ .
  7. Negativo ⇒ .
  8. Negativo ⇒ .
Agora .

Passo 5

Como o intervalo ficou menor que , a incerteza em é menor que .

Passo 6

A raiz está aproximadamente no ponto médio do último intervalo:
xapprox 1,62109375 + 1,6252 = 1,623046875
Arredondando com erro < , dá .

Resposta

A raiz real de boxedx approx 1,62 , com erro inferior a , é aproximadamente

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