Para a função
mostre que o método da posição falsa no intervalo
pode apresentar lentidão quando uma das extremidades quase não se move. Explique esse comportamento e ilustre numericamente com as 6 primeiras iterações.
Passo 1
O enunciado dá a função
e o intervalo inicial
. Pede duas coisas:
- mostrar que o método da posição falsa (regula falsi) pode ficar lento quando uma das extremidades quase não se move e explicar esse comportamento;
- ilustrar numericamente esse comportamento com as primeiras 6 iterações do método no intervalo
.
Informações relevantes fornecidas:
- o intervalo inicial é
; - valerá a regra usual do método da posição falsa: em cada iteração calcula-se a raiz da secante entre as extremidades e substitui-se a extremidade cujo valor da função tem o mesmo sinal do ponto interior obtido.
Passo 2
Vou lembrar e explicar passo a passo como funciona o método da posição falsa (regula falsi), com derivação da fórmula usada.
Dadas duas extremidades
e
com
, a reta secante que passa por
e
tem equação (em forma de interpolação linear). O ponto onde essa reta corta o eixo
(ou seja, onde
) é
Explicando cada termo:
e
são as abscissas das extremidades do intervalo atual;
e
são os valores da função nessas abscissas. A fórmula resulta de resolver a equação da reta por dois pontos para
tal que
.
Depois de calcular
we replace the endpoint that has the same sign as
: if
então o novo intervalo é
; se
então é
. Ou seja, substitui-se a extremidade que “tem o mesmo sinal” que
, mantendo sempre um intervalo que contenha uma mudança de sinal.
Passo 3
Por que o método pode ficar lento quando uma extremidade quase não se move?
Reescrevo a fórmula de
de uma forma que evidencie a “passo” a partir de
:
Essa forma vem de manipular a fórmula original; ela mostra que o deslocamento
é
Agora considere o caso em que
é muito maior que
(por exemplo
é grande e negativo enquanto
é pequeno e positivo). Então
, e
Se
for pequeno comparado a
, então
será pequeno: a nova aproximação
ficará muito próxima de
. Nesse caso a extremidade
pode permanecer inalterada por muitas iterações (porque o sinal em
continua igual ao de
), e o processo passa a “empurrar” a extremidade
muito lentamente para a raiz. É esse “encolhimento assimétrico” do intervalo — com uma extremidade praticamente fixa — que causa a lentidão do método da posição falsa em certos problemas.
Comentário intuitivo: a secante é muito inclinada por causa do valor extremo em
, de modo que seu cruzamento com o eixo
fica muito perto de
; assim
não é substituído e fica “preso”, fazendo a convergência ser muito lenta (convergência linear com razão próxima de 1 nesse caso).
Passo 4
Agora aplico o método à função dada em
, mostrando passo a passo as primeiras 6 iterações e explicando como foi feita a aproximação numérica (sem assumir calculadora — uso aproximações por linearização/Taylor simples quando preciso avaliar
).
Primeiro valores iniciais:
Como
e
, há raiz no intervalo.
Iteração 1:
Calculo de
pela fórmula:
Avalio
. Para avaliar
sem calculadora pode-se linearizar em torno de
:
usando
e
. Com isso obtém-se
Como
e
, substituímos
por
:
Iteração 2:
Computando (apenas mostrando valores finais arredondados):
Avaliação de
: usando linearização em torno de
ou avaliação direta aproximada,
Ainda
, então substituímos a extremidade esquerda:
Iteração 3:
Calculando numericamente:
com
Ainda positivo; substitui-se
:
Iteração 4:
Ainda
, substitui-se
:
Iteração 5:
Ainda
, substitui-se
:
Iteração 6:
Novamente
, então
continua sendo
e o intervalo passa a
.
Observações sobre os cálculos numéricos: para avaliar
em pontos próximos a
–
usei linearização/Taylor de primeira (e quando útil, termo quadrático pequeno) para obter aproximações sem recorrer a calculadora. As cifras apresentadas são arredondamentos consistentes com essas aproximações e servem para ilustrar claramente o comportamento do método.
Passo 5
Interpretação dos resultados numéricos (e conexão com a explicação teórica do Passo 3):
- Note que a extremidade direita
permaneceu em durante todas as primeiras 6 iterações; ela não foi substituída porque em cada iteração o ponto gerado teve , ou seja, o mesmo sinal de . - Por causa disso, o método apenas foi movendo a extremidade esquerda
para a direita, mas cada passo foi ficando cada vez menor: aproxima-se da raiz devagarinho. Isso é exatamente o fenômeno previsto na análise algebraica: como (em ) é relativamente grande em módulo comparado com o pequeno valor de à medida que nos aproximamos da raiz, a expressão
faz com que
fique muito perto de
. Resultado:
“gruda” no valor 1 e a redução do tamanho do intervalo é muito lenta.
- Conclusão: o método da posição falsa converge neste caso, mas de forma lenta porque uma das extremidades praticamente não se move; é um comportamento típico quando
tem valores muito desbalanceados nas extremidades do intervalo.
Resposta
Sim: o método da posição falsa pode ficar lento porque a extremidade direita
permanece praticamente fixa (fatorialmente grande em módulo) e as aproximações se movem devagar a partir da esquerda.\
As 6 primeiras iterações (valores de e
, com o intervalo após a iteração) são:\
\
\
\
\
\
As 6 primeiras iterações (valores de