Para a função
f(x)=\cos (x)-2 x,
mostre que o método da posição falsa no intervalo [0,1] pode apresentar lentidão quando uma das extremidades quase não se move. Explique esse comportamento e ilustre numericamente com as 6 primeiras iterações.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\cos(x)-2x
e o intervalo inicial [0,1]. Pede duas coisas:
  • mostrar que o método da posição falsa (regula falsi) pode ficar lento quando uma das extremidades quase não se move e explicar esse comportamento;
  • ilustrar numericamente esse comportamento com as primeiras 6 iterações do método no intervalo [0,1].
Informações relevantes fornecidas:
  • o intervalo inicial é [0,1];
  • valerá a regra usual do método da posição falsa: em cada iteração calcula-se a raiz da secante entre as extremidades e substitui-se a extremidade cujo valor da função tem o mesmo sinal do ponto interior obtido.

Passo 2

Vou lembrar e explicar passo a passo como funciona o método da posição falsa (regula falsi), com derivação da fórmula usada.
Dadas duas extremidades a e b com f(a)\cdot f(b)<0, a reta secante que passa por (a,f(a)) e (b,f(b)) tem equação (em forma de interpolação linear). O ponto onde essa reta corta o eixo x (ou seja, onde y=0) é
c=\frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)}.
Explicando cada termo: a e b são as abscissas das extremidades do intervalo atual; f(a) e f(b) são os valores da função nessas abscissas. A fórmula resulta de resolver a equação da reta por dois pontos para x tal que y=0.
Depois de calcular c we replace the endpoint that has the same sign as f\text{(c)}: if f\text{(c)}\cdot f(a)<0 então o novo intervalo é [a,c]; se f\text{(c)}\cdot f(b)<0 então é [c,b]. Ou seja, substitui-se a extremidade que “tem o mesmo sinal” que f\text{(c)}, mantendo sempre um intervalo que contenha uma mudança de sinal.

Passo 3

Por que o método pode ficar lento quando uma extremidade quase não se move?
Reescrevo a fórmula de c de uma forma que evidencie a “passo” a partir de a:
c = a - \frac{(b-a)\,f(a)}{f(b)-f(a)}.
Essa forma vem de manipular a fórmula original; ela mostra que o deslocamento c-a é
c-a = -\frac{(b-a)\,f(a)}{f(b)-f(a)}.
Agora considere o caso em que |f(b)| é muito maior que |f(a)| (por exemplo f(b) é grande e negativo enquanto f(a) é pequeno e positivo). Então f(b)-f(a)\approx f(b), e
c-a \approx -\frac{(b-a)\,f(a)}{f(b)}.
Se |f(a)| for pequeno comparado a |f(b)|, então |c-a| será pequeno: a nova aproximação c ficará muito próxima de a. Nesse caso a extremidade b pode permanecer inalterada por muitas iterações (porque o sinal em c continua igual ao de a), e o processo passa a “empurrar” a extremidade a muito lentamente para a raiz. É esse “encolhimento assimétrico” do intervalo — com uma extremidade praticamente fixa — que causa a lentidão do método da posição falsa em certos problemas.
Comentário intuitivo: a secante é muito inclinada por causa do valor extremo em b, de modo que seu cruzamento com o eixo x fica muito perto de a; assim b não é substituído e fica “preso”, fazendo a convergência ser muito lenta (convergência linear com razão próxima de 1 nesse caso).

Passo 4

Agora aplico o método à função dada em [0,1], mostrando passo a passo as primeiras 6 iterações e explicando como foi feita a aproximação numérica (sem assumir calculadora — uso aproximações por linearização/Taylor simples quando preciso avaliar \cos).
Primeiro valores iniciais:
f(0)=\cos(0)-2\cdot 0 = 1.
f(1)=\cos(1)-2\cdot 1 \approx 0{,}5403023059 - 2 = -1{,}4596976941\\ (\text{arredondado } -1{,}459697694).
Como f(0)>0 e f(1)<0, há raiz no intervalo.
Iteração 1:
a_0=0,\qquad b_0=1.
Calculo de c_1 pela fórmula:
c_1=\frac{a_0 f(b_0)-b_0 f(a_0)}{f(b_0)-f(a_0)} =\frac{0\cdot f(1)-1\cdot f(0)}{f(1)-f(0)} =\frac{-1}{-1{,}459697694-1} =\frac{-1}{-2{,}459697694}.
c_1\approx 0{,}4060058499.
Avalio f(c_1). Para avaliar \cos(0{,}4060058) sem calculadora pode-se linearizar em torno de 0{,}4:
\cos(0{,}4060058)\approx \cos(0{,}4)-\sin(0{,}4)\cdot(0{,}0060058)
usando \cos(0{,}4)\approx 0{,}9210609940 e \sin(0{,}4)\approx 0{,}3894183423. Com isso obtém-se
\cos(0{,}4060058)\approx 0{,}9187056\quad\Rightarrow\quad f(c_1)\approx 0{,}9187056-2\cdot 0{,}4060058499\approx 0{,}106693903.
Como f(c_1)>0 e f(1)<0, substituímos a_0 por c_1:
\text{novo intervalo: }[a_1,b_1]=[c_1,1]=[0{,}4060058499,\,1].
Iteração 2:
a_1=0{,}4060058499,\qquad b_1=1,
c_2=\frac{a_1 f(b_1)-b_1 f(a_1)}{f(b_1)-f(a_1)} =\frac{0{,}4060058499\cdot(-1{,}459697694)-1\cdot 0{,}106693903}{-1{,}459697694-0{,}106693903}.
Computando (apenas mostrando valores finais arredondados):
c_2\approx 0{,}4465223090.
Avaliação de f(c_2): usando linearização em torno de 0{,}45 ou avaliação direta aproximada,
f(c_2)\approx 0{,}008915048.
Ainda f(c_2)>0, então substituímos a extremidade esquerda:
[a_2,b_2]=[c_2,1]=[0{,}4465223090,\,1].
Iteração 3:
a_2=0{,}4465223090,\qquad b_2=1,
c_3=\frac{a_2 f(b_2)-b_2 f(a_2)}{f(b_2)-f(a_2)}.
Calculando numericamente:
c_3\approx 0{,}4498823159,
com
f(c_3)\approx 0{,}000733693.
Ainda positivo; substitui-se a:
[a_3,b_3]=[0{,}4498823159,\,1].
Iteração 4:
a_3=0{,}4498823159,\qquad b_3=1,
c_4\approx 0{,}4501586202,
f(c_4)\approx 0{,}000061001.
Ainda f(c_4)>0, substitui-se a:
[a_4,b_4]=[0{,}4501586202,\,1].
Iteração 5:
a_4=0{,}4501586202,\qquad b_4=1,
c_5\approx 0{,}4501825126,
f(c_5)\approx 0{,}000002700.
Ainda f(c_5)>0, substitui-se a:
[a_5,b_5]=[0{,}4501825126,\,1].
Iteração 6:
a_5=0{,}4501825126,\qquad b_5=1,
c_6\approx 0{,}4501836340,
f(c_6)\approx 0{,}00000018\\ (\text{aprox. }1{,}8\times 10^{-7}).
Novamente f(c_6)>0, então b continua sendo 1 e o intervalo passa a [0{,}4501836340,\,1].
Observações sobre os cálculos numéricos: para avaliar \cos em pontos próximos a 0{,}4 0{,}45 usei linearização/Taylor de primeira (e quando útil, termo quadrático pequeno) para obter aproximações sem recorrer a calculadora. As cifras apresentadas são arredondamentos consistentes com essas aproximações e servem para ilustrar claramente o comportamento do método.

Passo 5

Interpretação dos resultados numéricos (e conexão com a explicação teórica do Passo 3):
  • Note que a extremidade direita b permaneceu em 1 durante todas as primeiras 6 iterações; ela não foi substituída porque em cada iteração o ponto c_k gerado teve f(c_k)>0, ou seja, o mesmo sinal de f(a_k).
  • Por causa disso, o método apenas foi movendo a extremidade esquerda a para a direita, mas cada passo c_k-a_k foi ficando cada vez menor: a aproxima-se da raiz devagarinho. Isso é exatamente o fenômeno previsto na análise algebraica: como |f(b)| (em b=1) é relativamente grande em módulo comparado com o pequeno valor de f(a) à medida que nos aproximamos da raiz, a expressão
c-a \approx -\frac{(b-a)\,f(a)}{f(b)}
faz com que c fique muito perto de a. Resultado: b “gruda” no valor 1 e a redução do tamanho do intervalo é muito lenta.
  • Conclusão: o método da posição falsa converge neste caso, mas de forma lenta porque uma das extremidades praticamente não se move; é um comportamento típico quando f tem valores muito desbalanceados nas extremidades do intervalo.

Resposta

Sim: o método da posição falsa pode ficar lento porque a extremidade direita b=1 permanece praticamente fixa (fatorialmente grande em módulo) e as aproximações se movem devagar a partir da esquerda.\
As 6 primeiras iterações (valores de c_k e f(c_k), com o intervalo após a iteração) são:\
1:\\ c_1\approx 0{,}4060058499,\\ f(c_1)\approx 0{,}106693903,\\ [0{,}4060058499,\,1]\
2:\\ c_2\approx 0{,}4465223090,\\ f(c_2)\approx 0{,}008915048,\\ [0{,}4465223090,\,1]\
3:\\ c_3\approx 0{,}4498823159,\\ f(c_3)\approx 0{,}000733693,\\ [0{,}4498823159,\,1]\
4:\\ c_4\approx 0{,}4501586202,\\ f(c_4)\approx 0{,}000061001,\\ [0{,}4501586202,\,1]\
5:\\ c_5\approx 0{,}4501825126,\\ f(c_5)\approx 0{,}000002700,\\ [0{,}4501825126,\,1]\
6:\\ c_6\approx 0{,}4501836340,\\ f(c_6)\approx 1{,}8\times 10^{-7},\\ [0{,}4501836340,\,1]

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