Calcule o valor aproximado da integral0.1^0.7 1ln (x) d x fazendo uso da integração pela Regra de Romberg com N=2.

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é aproximar a integral
integral0.1^0.7 1ln x,dx
usando a Regra de Romberg com . Isso faz parte do tópico de integração numérica, mais especificamente da técnica que combina a Regra do Trapézio e extrapolação de Richardson. Para resolver vamos precisar:
  1. calcular as aproximações pelo Trapézio com 1, 2 e 4 subintervalos,
  2. montar a tabela de Romberg e usar as fórmulas de extrapolação

Passo 2

Primeiro, definimos nossa função
f(x)=1ln x
e o intervalo T0=h02l[f(0.1)+f(0.7)r] =0.62l(1ln0.1+1ln0.7r) approx-0.9710385 .
Comprimento total .
• Trapézio com 1 subintervalo ( ):

Passo 3

Agora o Trapézio com 2 subintervalos ( T1=h12l[f(x0)+2f(x1)+f(x2)r] =0.32l(f(0.1)+2f(0.4)+f(0.7)r) approx-0.8128563 ), pontos em , , :

Passo 4

E com 4 subintervalos ( T2=h22l[f(0.1)+2[f(0.25)+f(0.4)+f(0.55)]+f(0.7)r] approx-0.7655619 ), pontos em 0.1, 0.25, 0.4, 0.55, 0.7:

Passo 5

Hora de construir a primeira coluna de Romberg:
R0,0=T0, R1,0=T1, R2,0=T2
A seguir, a primeira extrapolação (coluna R1,1 =R1,0+R1,0-R0,04^1-1 approx-0.8128563+-0.8128563+0.97103853 approx-0.7601289, ):
R2,1 =R2,0+R2,0-R1,04^1-1 approx-0.7655619+-0.7655619+0.81285633 approx-0.7497971

Passo 6

Por fim, a segunda extrapolação (coluna R2,2 =R2,1+R2,1-R1,14^2-1 approx-0.7497971+-0.7497971+0.760128915 approx-0.7491083 ), que é a nossa melhor aproximação:

Resposta

A integral aproximada pela Regra de Romberg com boxed-0.7491 (aprox) é

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