Considere a função f(x)=\ln (x)-\operatorname{sen}(x), estime o número de iterações e encontre a raiz de f utilizando o método da bisseção \operatorname{com} \varepsilon<0,01.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a raiz de \displaystyle f(x)=\ln(x)-\operatorname{sen}(x)
usando o método da bisseção com tolerância \varepsilon<0,01. Vamos precisar de um intervalo [a,b] em que f(a) e f(b) tenham sinais opostos e, em seguida, aplicar o critério de bisseção até que o comprimento do intervalo seja menor que \varepsilon.

Passo 2

Procuramos a e b tais que f(a)\,f(b)<0. Como
f(2)=\ln(2)-\operatorname{sen}(2)\approx0,6931-0,9093=-0,2162<0
f(3)=\ln(3)-\operatorname{sen}(3)\approx1,0986-0,1411=0,9575>0
concluímos que existe raiz em [2,3].

Passo 3

O número mínimo de iterações N para reduzir o erro em bisseção satisfaz
\frac{b-a}{2^N}\le\varepsilon \quad\Longrightarrow\quad N\ge\log_2\!\Bigl(\tfrac{b-a}{\varepsilon}\Bigr) =\log_2\!\Bigl(\tfrac{1}{0,01}\Bigr)=\log_2(100)\approx6,64
Logo, precisamos de N=7 iterações.

Passo 4

Aplicando 7 iterações em [2,3]:
Na 1ª iteração,
m_1=\frac{2+3}{2}=2,5,\quad f(2,5)\approx0,9163-0,5985=0,3178>0
então trocamos b\leftarrow2,5.
Na 2ª iteração,
m_2=\frac{2+2,5}{2}=2,25,\quad f(2,25)\approx0,8109-0,7774=0,0335>0
então b\leftarrow2,25.
Na 3ª iteração,
m_3=\frac{2+2,25}{2}=2,125,\quad f(2,125)\approx0,7538-0,8489=-0,0951<0
então a\leftarrow2,125.
Na 4ª iteração,
m_4=2,1875,\quad f(2,1875)\approx0,7826-0,8181=-0,0355<0
então a\leftarrow2,1875.
Na 5ª iteração,
m_5=2,21875,\quad f(2,21875)\approx0,7971-0,7987=-0,0016<0
então a\leftarrow2,21875.
Na 6ª iteração,
m_6=2,234375,\quad f(2,234375)\approx0,8040-0,7895=0,0145>0
então b\leftarrow2,234375.
Na 7ª iteração,
m_7=2,2265625,\quad f(2,2265625)\approx0,8005-0,7941=0,0064>0
então b\leftarrow2,2265625.
O novo comprimento de intervalo é
b-a=2,2265625-2,21875=0,0078125<0,01,
logo já atendemos \varepsilon<0,01.

Resposta

Número de iterações: 7
Raiz aproximada: x\approx2,2266 (com erro menor que 0,01).

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