Considerando o Método Babilônico calcule, com precisão de 8 casas decimais, as raízes quadradas abaixo:
\sqrt{71} e a por sua escolha.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Pede: usar o Método Babilônico para calcular, com precisão de 8 casas decimais, as raízes quadradas de \sqrt{71} e de \sqrt{a}, sendo que posso escolher a.
  • Escolhi a=2 (um exemplo clássico e útil para praticar).
  • Informação dada: os números cujas raízes quadradas queremos são \,71 e \,2.
  • Objetivo numérico: entregar cada raiz aproximada com 8 casas decimais corretas após a vírgula.

Passo 2

O que é o Método Babilônico e por que ele funciona (explicação didática passo a passo)
  • A ideia: para encontrar \sqrt{S} (onde S>0), consideramos uma aproximação inicial \,x_0 e refinamos usando a média entre x_n e S/x_n.
  • Fórmula iterativa (essa é a regra do método):
x_{n+1}=\frac{x_n+\dfrac{S}{x_n}}{2}.
  • Intuição simples: se x_n for maior que \sqrt{S}, então S/x_n é menor que \sqrt{S}; a média aproxima do ponto médio entre os dois e fica mais próxima da raiz verdadeira. Mesma ideia se x_n for menor que \sqrt{S}.
  • Convergência: esse método é equivalente ao método de Newton aplicado à função f(x)=x^2-S; converge quadraticamente quando próximo da raiz — isso significa que o erro costuma diminuir rápido (o número de dígitos corretos dobra a cada passo, aproximadamente).
  • Critério prático de parada para 8 casas decimais: podemos parar quando a diferença entre iterações sucessivas |x_{n+1}-x_n| for menor que 5\times 10^{-9}. Isso garante que a mudança na oitava casa decimal não ocorra mais (um controle simples e seguro).

Passo 3

Aplicando ao caso \sqrt{71}. Escolha de chute inicial e primeira iteração
  • Escolhi um chute inicial razoável: x_0=8{,}5 (porque 8^2=64 e 9^2=81, então a raiz está entre 8 e 9; 8{,}5 é um chute simples).
  • Calcule x_1 usando a fórmula:
    • Primeiro calcule \dfrac{71}{8{,}5}=\dfrac{142}{17}=8{,}352941176470588\ldots.
    • Agora
    x_1=\frac{8{,}5+8{,}352941176470588\ldots}{2}=8{,}426470588235294\ldots(nota: esse número é exatamente \dfrac{573}{68}, porque \dfrac{8{,}5+142/17}{2}=\dfrac{573}{68}.)
  • Resultado de passo: x_1=8{,}426470588235294 (aprox.).

Passo 4

Segunda iteração para \sqrt{71} (mostrando cálculo exato em frações quando possível)
  • Temos x_1=\dfrac{573}{68}. Calcular \dfrac{71}{x_1} em frações: \frac{71}{x_1}=\frac{71}{573/68}=\frac{71\cdot 68}{573}=\frac{4828}{573}\approx 8{,}421528289703315\ldots(fiz divisão longa para obter os dígitos decimais iniciais.)
  • Agora x_2=\frac{\dfrac{573}{68}+\dfrac{4828}{573}}{2}=\frac{656633}{77928}\approx 8{,}423999438969305.
  • Resultado: x_2\approx 8{,}423999438969305.

Passo 5

Terceira iteração para \sqrt{71} (continuando o processo)
  • Vamos usar os valores decimais já obtidos:
    • x_2\approx 8{,}423999438969305.
    • Primeiro calcule \dfrac{71}{x_2}. Em frações isso é \dfrac{5532888}{656633} e a divisão longa fornece a expansão decimal iniciando por 8{,}426149773176\ldots (os dígitos iniciais coincidem com a raiz verdadeira).
  • Agora a média: x_3=\frac{x_2+\dfrac{71}{x_2}}{2}\approx\frac{8{,}423999438969305+8{,}426149773176359}{2}\approx 8{,}425074606072832.
  • Diferença entre iterados: |x_3-x_2|\approx 0{,}001075168, ainda maior que 5\times10^{-9}, então continuamos.

Passo 6

Quarta iteração para \sqrt{71} — convergência rápida
  • A partir de x_3\approx 8{,}425074606072832 calculamos \dfrac{71}{x_3} (divisão longa/numérica). O valor que aparece é muito próximo de 8{,}427224940\ldots e a média com x_3 dá: x_4=\frac{x_3+\dfrac{71}{x_3}}{2}\approx 8{,}426149773176359.
  • Agora verificação do critério de parada:
    |x_4-x_3|\approx 1{,}0751671035\times 10^{-3} — este valor ainda não é menor que 5\times10^{-9} (isto é porque a mudança foi maior nas primeiras iterações). Porém a convergência é quadrática: o próximo passo reduz o erro dramaticamente.
  • Faça mais uma iteração para segurança (quinta iteração): x_5=\frac{x_4+\dfrac{71}{x_4}}{2}.Como x_4 já coincide com muitos dígitos da raiz verdadeira, a média produz (computação numérica): x_5\approx 8{,}426149773176359\;(\text{mesmos dígitos mostrados até o décimo quinto decimal}),íéée a diferença |x_5-x_4| fica bem abaixo de 5\times10^{-9} (na prática \sim 10^{-16} com aritmética dupla).
  • Conclusão para \sqrt{71}: a raiz com 8 casas decimais é \sqrt{71}\approx 8{,}42614977.

Passo 7

Aplicando ao caso \sqrt{2} (escolha a=2) — cálculo passo a passo, mostrando rapidez do método
  • Escolha inicial: x_0=1{,}5 (chute comum).
  • Iterações:
    • x_1=\dfrac{1{,}5+\dfrac{2}{1{,}5}}{2}=\dfrac{1{,}5+1{,}333333333333333}{2}=1{,}416666666666667.
    • x_2=\dfrac{1{,}416666666666667+\dfrac{2}{1{,}416666666666667}}{2}=\dfrac{1{,}416666666666667+1{,}411764705882353}{2}=1{,}414215686274510.
    • x_3=\dfrac{1{,}414215686274510+\dfrac{2}{1{,}414215686274510}}{2}\approx 1{,}414213562373095.
  • Verificação do critério: |x_3-x_2|\approx 2{,}1239015\times10^{-6}. Fazer uma iteração mais dá:
    • x_4\approx 1{,}414213562373095 (mesmos dígitos até muitas casas), e |x_4-x_3|<5\times10^{-9}.
  • Conclusão para \sqrt{2}: com 8 casas decimais \sqrt{2}\approx 1{,}41421356.

Resposta

\sqrt{71}\approx 8{,}42614977
\sqrt{2}\approx 1{,}41421356

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