Considerando o Método Babilônico calcule, com precisão de 8 casas decimais, as raízes quadradas abaixo:
e
por sua escolha.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
- Pede: usar o Método Babilônico para calcular, com precisão de 8 casas decimais, as raízes quadradas de
e de , sendo que posso escolher . - Escolhi
(um exemplo clássico e útil para praticar). - Informação dada: os números cujas raízes quadradas queremos são
e . - Objetivo numérico: entregar cada raiz aproximada com 8 casas decimais corretas após a vírgula.
Passo 2
O que é o Método Babilônico e por que ele funciona (explicação didática passo a passo)
- A ideia: para encontrar
(onde ), consideramos uma aproximação inicial e refinamos usando a média entre e . - Fórmula iterativa (essa é a regra do método):
- Intuição simples: se
for maior que , então é menor que ; a média aproxima do ponto médio entre os dois e fica mais próxima da raiz verdadeira. Mesma ideia se for menor que . - Convergência: esse método é equivalente ao método de Newton aplicado à função
; converge quadraticamente quando próximo da raiz — isso significa que o erro costuma diminuir rápido (o número de dígitos corretos dobra a cada passo, aproximadamente). - Critério prático de parada para 8 casas decimais: podemos parar quando a diferença entre iterações sucessivas
for menor que . Isso garante que a mudança na oitava casa decimal não ocorra mais (um controle simples e seguro).
Passo 3
Aplicando ao caso
. Escolha de chute inicial e primeira iteração
- Escolhi um chute inicial razoável:
(porque e , então a raiz está entre 8 e 9; é um chute simples). - Calcule
usando a fórmula: - Primeiro calcule
. - Agora
(nota: esse número é exatamente , porque .) - Primeiro calcule
- Resultado de passo:
(aprox.).
Passo 4
Segunda iteração para
(mostrando cálculo exato em frações quando possível)
- Temos
. Calcular em frações: (fiz divisão longa para obter os dígitos decimais iniciais.) - Agora
- Resultado:
.
Passo 5
Terceira iteração para
(continuando o processo)
- Vamos usar os valores decimais já obtidos:
-
. - Primeiro calcule
. Em frações isso é e a divisão longa fornece a expansão decimal iniciando por (os dígitos iniciais coincidem com a raiz verdadeira).
-
- Agora a média:
- Diferença entre iterados:
, ainda maior que , então continuamos.
Passo 6
Quarta iteração para
— convergência rápida
- A partir de
calculamos (divisão longa/numérica). O valor que aparece é muito próximo de e a média com dá: - Agora verificação do critério de parada:
— este valor ainda não é menor que (isto é porque a mudança foi maior nas primeiras iterações). Porém a convergência é quadrática: o próximo passo reduz o erro dramaticamente. - Faça mais uma iteração para segurança (quinta iteração):
Como já coincide com muitos dígitos da raiz verdadeira, a média produz (computação numérica): e a diferença fica bem abaixo de (na prática com aritmética dupla). - Conclusão para
: a raiz com 8 casas decimais é
Passo 7
Aplicando ao caso
(escolha
) — cálculo passo a passo, mostrando rapidez do método
- Escolha inicial:
(chute comum). - Iterações:
-
- Verificação do critério:
. Fazer uma iteração mais dá: -
(mesmos dígitos até muitas casas), e .
-
- Conclusão para
: com 8 casas decimais