Considerando o Método Babilônico calcule, com precisão de 8 casas decimais, as raízes quadradas abaixo:
e
.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule, usando o Método Babilônico, as raízes quadradas a uma precisão de 8 casas decimais para os valores indicados. As informações dadas são:
- Primeiro valor a calcular:
. - Segundo valor a calcular: raiz quadrada de
quando , isto é . - A precisão exigida é de 8 casas decimais (ou seja, os resultados devem ser apresentados com oito dígitos depois da vírgula).
- O método indicado é o Método Babilônico (iterativo), também conhecido por Método de Heron.
Passo 2
Apresento e explico o Método Babilônico (fórmula e ideias por trás dele).
- Ideia: para achar
queremos a solução positiva da equação . O Método Babilônico é uma iteração que aproxima essa solução por:
Aqui:
-
é o número do qual se quer extrair a raiz quadrada (no nosso caso ou ). -
é a aproximação atual da raiz quadrada. -
é a aproximação seguinte, obtida pela média aritmética entre e . -
Por que isso funciona (explicação curta e intuitiva): se
é maior que então é menor que ; tomar a média dos dois aproxima ao valor verdadeiro. Formalmente, essa iteração é equivalente ao método de Newton aplicado à função , o que garante convergência rápida (quadrática) quando a aproximação inicial é razoável.
Passo 3
Critério de parada para garantir 8 casas decimais:
- Para obter 8 casas decimais corretas ao final, uso um critério seguro baseado na diferença entre iterações:
Explicação: se a diferença entre iterações for menor que
, então a aproximação já está estável suficiente para ser arredondada com segurança a 8 casas decimais (isto é, o erro é menor que metade da unidade na 8ª casa decimal). Depois de obter a última iteração, arredondo o resultado para 8 casas decimais (usar vírgula como separador decimal).
Passo 4
Aplicação do Método Babilônico para
.
- Defino
. - Escolho uma aproximação inicial simples; por exemplo
. (Qualquer chute razoável funciona; escolher é natural.) - Faço a iteração:
- Já obtive
. A diferença é
portanto a iteração já convergiu imediata e exatamente para o valor exato.
- Resultado antes do arredondamento:
. Arredondando para 8 casas decimais (com vírgula): .
Passo 5
Aplicação do Método Babilônico para
(ou seja,
).
- Defino
. - Escolho aproximação inicial
ou simplesmente . Para mostrar o processo com um chute simples uso (que já é o valor exato, mas explico o caso geral). - Se
, a iteração dá:
- Diferença:
portanto convergiu imediatamente.
- Resultado antes do arredondamento:
. Arredondando para 8 casas decimais: .
Passo 6
Verificação rápida (checagem): ao elevar ao quadrado os resultados obtidos deve-se recuperar
.
- Para
: . - Para
: .
Isso confirma que as raízes estão corretas.