Considerando o Método Babilônico calcule, com precisão de 8 casas decimais, as raízes quadradas abaixo:
\sqrt{4} e a=1.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule, usando o Método Babilônico, as raízes quadradas a uma precisão de 8 casas decimais para os valores indicados. As informações dadas são:
  • Primeiro valor a calcular: \sqrt{4}.
  • Segundo valor a calcular: raiz quadrada de a quando a=1, isto é \sqrt{1}.
  • A precisão exigida é de 8 casas decimais (ou seja, os resultados devem ser apresentados com oito dígitos depois da vírgula).
  • O método indicado é o Método Babilônico (iterativo), também conhecido por Método de Heron.

Passo 2

Apresento e explico o Método Babilônico (fórmula e ideias por trás dele).
  • Ideia: para achar \sqrt{S} queremos a solução positiva da equação \,x^2-S=0. O Método Babilônico é uma iteração que aproxima essa solução por:
x_{n+1}=\frac{x_n+\dfrac{S}{x_n}}{2}.
Aqui:
  • S é o número do qual se quer extrair a raiz quadrada (no nosso caso S=4 ou S=1).
  • x_n é a aproximação atual da raiz quadrada.
  • x_{n+1} é a aproximação seguinte, obtida pela média aritmética entre x_n e S/x_n.
  • Por que isso funciona (explicação curta e intuitiva): se x_n é maior que \sqrt{S} então S/x_n é menor que \sqrt{S}; tomar a média dos dois aproxima ao valor verdadeiro. Formalmente, essa iteração é equivalente ao método de Newton aplicado à função f(x)=x^2-S, o que garante convergência rápida (quadrática) quando a aproximação inicial é razoável.

Passo 3

Critério de parada para garantir 8 casas decimais:
  • Para obter 8 casas decimais corretas ao final, uso um critério seguro baseado na diferença entre iterações:
\left|x_{n+1}-x_n\right|<5\cdot 10^{-9}.
Explicação: se a diferença entre iterações for menor que 5\cdot10^{-9}, então a aproximação já está estável suficiente para ser arredondada com segurança a 8 casas decimais (isto é, o erro é menor que metade da unidade na 8ª casa decimal). Depois de obter a última iteração, arredondo o resultado para 8 casas decimais (usar vírgula como separador decimal).

Passo 4

Aplicação do Método Babilônico para \sqrt{4}.
  • Defino S=4.
  • Escolho uma aproximação inicial simples; por exemplo x_0=\dfrac{S}{2}=\dfrac{4}{2}=2. (Qualquer chute razoável funciona; escolher x_0=2 é natural.)
  • Faço a iteração:
x_1=\frac{x_0+\dfrac{S}{x_0}}{2}=\frac{2+\dfrac{4}{2}}{2}=\frac{2+2}{2}=\frac{4}{2}=2.
  • Já obtive x_1=2. A diferença é
|x_1-x_0|=|2-2|=0<5\cdot10^{-9},
portanto a iteração já convergiu imediata e exatamente para o valor exato.
  • Resultado antes do arredondamento: 2. Arredondando para 8 casas decimais (com vírgula): 2,00000000.

Passo 5

Aplicação do Método Babilônico para \sqrt{1} (ou seja, a=1).
  • Defino S=1.
  • Escolho aproximação inicial x_0=\dfrac{S}{2}=\dfrac{1}{2}=0{,}5 ou simplesmente x_0=1. Para mostrar o processo com um chute simples uso x_0=1 (que já é o valor exato, mas explico o caso geral).
  • Se x_0=1, a iteração dá:
x_1=\frac{x_0+\dfrac{S}{x_0}}{2}=\frac{1+\dfrac{1}{1}}{2}=\frac{1+1}{2}=1.
  • Diferença:
|x_1-x_0|=|1-1|=0<5\cdot10^{-9},
portanto convergiu imediatamente.
  • Resultado antes do arredondamento: 1. Arredondando para 8 casas decimais: 1,00000000.

Passo 6

Verificação rápida (checagem): ao elevar ao quadrado os resultados obtidos deve-se recuperar S.
  • Para \sqrt{4}: 2^2=4.
  • Para \sqrt{1}: 1^2=1.
    Isso confirma que as raízes estão corretas.

Resposta

\sqrt{4}=2,00000000
\sqrt{1}=1,00000000

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