1- (a) Considerando o Método do Ponto fixo, suponha que \varphi(x) seja uma função de iteração de classe C^{1} para a equação f(x)=0, a qual possui uma raiz isolada \xi centrada em um intervalo I, e que x_{0} \in \mathrm{I}. Mostre que se \left|\varphi^{\prime}(x)\right| \leq M<1, para todo x \in \mathrm{I}, então, \left|x_{k}-\xi\right| \leq M^{k}\left|x_{0}-\xi\right|, onde x_{k}=\varphi\left(x_{k-1}\right), k=1,2 \ldots. Conclua que \lim x_{k}=\xi.
(b) Como se sabe, \xi=\sqrt{2} é a raiz positiva de f(x)=x^{2}-2=0. Obtenha uma aproximação para o valor de \sqrt{2} utilizando o Método do Ponto Fixo e uma função de iteração da forma \varphi(x)=x+A f(x), \operatorname{com} A constante. Escolha a constante A de modo que a condição de convergencia do método do ponto fixo, \left|\varphi^{\prime}(x)\right| \leq M<1, esteja satisfeita no intervalo [1,2]. Faça duas iterações.

Passo 1

O enunciado envolve duas partes. Na parte (a) temos o método do ponto fixo: seja \varphi\in C^1 num intervalo I contendo a raiz isolada \xi de f(x)=0 e defina a iteração
x_{k}=\varphi(x_{k-1}),\quad k=1,2,\dots,\quad x_{0}\in I.
Queremos mostrar que, se existe M<1 tal que \lvert \varphi'(x)\rvert\le M para todo x\in I, então
\lvert x_{k}-\xi\rvert \le M^{k}\lvert x_{0}-\xi\rvert
e, dessa forma, \lim_{k\to\infty}x_{k}=\xi.
Na parte (b) aplicamos isso a f(x)=x^{2}-2, escolhendo uma função de iteração da forma
\varphi(x)=x + A\,f(x)=x + A\,(x^{2}-2),
determinamos A de modo a garantir \lvert\varphi'(x)\rvert\le M<1 em [1,2] e fazemos duas iterações.

Passo 2

Para provar a desigualdade usemos o Teorema do Valor Médio em \varphi. Para cada k\ge1 aplica-se entre x_{k-1} e \xi:
\varphi(x_{k-1})-\varphi(\xi) =\varphi'(\eta)\,\bigl(x_{k-1}-\xi\bigr)
para algum \eta entre x_{k-1} e \xi. Como \varphi(\xi)=\xi (ponto fixo) e \lvert\varphi'(\eta)\rvert\le M, temos
\lvert x_{k}-\xi\rvert =\lvert \varphi(x_{k-1})-\varphi(\xi)\rvert \le M\,\lvert x_{k-1}-\xi\rvert.
Por recorrência imediata segue
\lvert x_{k}-\xi\rvert \le M^{k}\,\lvert x_{0}-\xi\rvert.

Passo 3

Como 0\le M<1, tem-se M^{k}\to0 quando k\to\infty. Logo
\lim_{k\to\infty}\lvert x_{k}-\xi\rvert = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lim_{k\to\infty}x_{k}=\xi,
mostrando a convergência.

Passo 4

Agora considere f(x)=x^{2}-2 e
\varphi(x)=x + A\,(x^{2}-2).
Calculamos
\varphi'(x)=1+2A\,x.
Queremos \lvert\varphi'(x)\rvert\le M<1 para todo x\in[1,2]. Os valores extremos de \varphi' ocorrem em x=1 e x=2, ou seja
\varphi'(1)=1+2A, \quad \varphi'(2)=1+4A.
Para minimizar o maior valor absoluto, igualamos
1+2A = -\bigl(1+4A\bigr) \;\Longrightarrow\; 6A=-2 \;\Longrightarrow\; A=-\tfrac{1}{3}.
Com isso
\varphi'(x)=1 - \tfrac{2}{3}x,
que em [1,2] varia entre \tfrac13 e -\tfrac13, logo \lvert\varphi'(x)\rvert\le \tfrac13\equiv M<1. Assim o método converge.

Passo 5

Tomemos como chute inicial x_{0}=1\in[1,2]. Então
x_{1}=\varphi(1) =1 - \frac{1^{2}-2}{3} =1 + \frac{1}{3} =\frac{4}{3}\approx1{,}33333,
x_{2}=\varphi\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr) =\frac{4}{3} -\frac{\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr)^{2}-2}{3} =\frac{4}{3} -\frac{\tfrac{16}{9}-2}{3} =\frac{4}{3} +\frac{2}{27} =\frac{38}{27}\approx1{,}40741.

Resposta

(a) Pelo Teorema do Valor Médio e recorrência obtense
\lvert x_{k}-\xi\rvert\le M^{k}\lvert x_{0}-\xi\rvert, logo x_{k}\to\xi.
(b) Escolhendo A=-\tfrac13 garante-se \lvert\varphi'(x)\rvert\le\tfrac13<1 em [1,2]. Com x_{0}=1 obtemos
x_{1}\approx1{,}33333, \quad x_{2}\approx1{,}40741.

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