1- (a) Considerando o Método do Ponto fixo, suponha que
seja uma função de iteração de classe
para a equação
, a qual possui uma raiz isolada
centrada em um intervalo I, e que
. Mostre que se
, para todo
, então,
, onde
. Conclua que
.
(b) Como se sabe,
é a raiz positiva de
. Obtenha uma aproximação para o valor de
utilizando o Método do Ponto Fixo e uma função de iteração da forma
constante. Escolha a constante
de modo que a condição de convergencia do método do ponto fixo,
, esteja satisfeita no intervalo [1,2]. Faça duas iterações.
(b) Como se sabe,
Passo 1
O enunciado envolve duas partes. Na parte (a) temos o método do ponto fixo: seja
num intervalo
contendo a raiz isolada
de
e defina a iteração
Queremos mostrar que, se existe
tal que
para todo
, então
e, dessa forma,
.
Na parte (b) aplicamos isso a , escolhendo uma função de iteração da forma
Na parte (b) aplicamos isso a
determinamos
de modo a garantir
em
e fazemos duas iterações.
Passo 2
Para provar a desigualdade usemos o Teorema do Valor Médio em
. Para cada
aplica-se entre
e
:
para algum
entre
e
. Como
(ponto fixo) e
, temos
Por recorrência imediata segue
Passo 3
Como
, tem-se
quando
. Logo
mostrando a convergência.
Passo 4
Agora considere
e
Calculamos
Queremos
para todo
. Os valores extremos de
ocorrem em
e
, ou seja
Para minimizar o maior valor absoluto, igualamos
Com isso
que em
varia entre
e
, logo
. Assim o método converge.
Passo 5
Tomemos como chute inicial
. Então
Resposta
(a) Pelo Teorema do Valor Médio e recorrência obtense
, logo
.
(b) Escolhendo garante-se
em
. Com
obtemos
(b) Escolhendo